Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Определение ряда Фурье и принцип
локализации
Определение 1.1. Ряд вида
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx (a
k
, b
k
∈ R)
называется тригонометрическим рядом.
Множество функций
1
2
, cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . .
называется тригонометрической системой.
Тригонометрическая система функция является ортогональ-
ной системой в том смысле, что
Z
π
−π
cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N
0
, k 6= m,
Z
π
−π
sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N
0
, k 6= m,
Z
π
−π
cos kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N
0
, m ∈ N.
Кроме того,
Z
π
−π
cos
2
kx dx =
Z
π
−π
sin
2
kx dx = π, k ∈ N.
Лемма 1.1. Пусть
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx, (1.1)
         ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
             РЯДЫ ФУРЬЕ


      § 1. Определение ряда Фурье и принцип
                    локализации
   Определение 1.1. Ряд вида
                  ∞
          a0 X
            +  ak cos kx + bk sin kx (ak , bk ∈ R)
          2
                 k=1
называется тригонометрическим рядом.
   Множество функций
    1
      , cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . .
    2
называется тригонометрической системой.
   Тригонометрическая система функция является ортогональ-
ной системой в том смысле, что
        Z π
             cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m,
          −π
         Z π
              sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m,
        Z −π
           π
             cos kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , m ∈ N.
         −π

   Кроме того,
         Z π             Z      π
                2
             cos kx dx =            sin2 kx dx = π,   k ∈ N.
          −π                   −π


   Лемма 1.1. Пусть
                              ∞
                         a0 X
               f (x) =     +  ak cos kx + bk sin kx,           (1.1)
                         2
                             k=1

Страницы