Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 6 стр.

6           О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

      В этом случае пишут
                            ∞
                       a0 X
               f (x) ∼   +  ak cos kx + bk sin kx,        (1.3)
                       2
                            k=1

понимая под такой записью, что функции f поставлен в соот-
ветствие ее ряд Фурье.
   Лемму 1.1 можно переформулировать так: равномерно схо-
дящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей
суммы.
   Упражнение 1.1. Показать, что тригонометрический ряд
 ∞
P  sin kx , ε > 0, является рядом Фурье.
     1+ε
k=1
      k
     Заметим, что если 2π-периодическая функция f абсолютно
интегрируема на каком-либо отрезке [a, a+2π] длины 2π, то она
будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом отрезке
[b, b + 2π] и при этом
                  Z b+2π            Z a+2π
                         f (x) dx =        f (x) dx.
                  b               a
Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без
труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффи-
циенты Фурье 2π-периодической функции f можно вычислять,
заменив в формулах (1.2) интеграл по отрезку [−π, π] на инте-
грал по любому отрезку [a, a + 2π].
    С другой стороны, каждую заданную на [a − π, a + π] аб-
солютно интегрируемую функцию можно (изменив при необхо-
димости ее значение в точке a − π или в точке a + π, или и в
той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси
2π-периодической функции. При этом изменение ее значения в
одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее 2π-
периодического продолжения (1.2), а значит, и ряда Фурье (1.3).
Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно из-
учать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной
2π, например, на [−π, π].