Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 9
Преобразуем сумму Фурье S
n
(x; f), подставив в нее вместо
коэффициентов Фурье их выражения (1.2). Получим
S
n
(x; f) =
=
1
2π
Z
π
−π
f(t) dt +
n
X
k=1
1
π
Z
π
−π
f(t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =
=
1
π
Z
π
−π
f(t)
"
1
2
+
n
X
k=1
cos k(t − x)
#
dt
=
1
π
Z
π
−π
D
n
(t − x)f(t) dt. (1.7)
Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом
Дирихле) замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка интегри-
рования, получим
S
n
(x; f) =
1
π
Z
π
−π
D
n
(t)f(x + t) dt =
=
1
π
Z
0
−π
+
Z
π
0
D(t)f(x + t) dt =
=
1
π
Z
π
0
D
n
(t)[f(x + t) + f(x − t)] dt. (1.8)
Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний ин-
теграл в виде
S
n
(x; f) =
1
π
Z
δ
0
+
Z
π
δ
f(x + t) + f(x − t)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt.
Во втором из этих интегралов знаменатель дроби 2 sin
t
2
>
> 2 sin
δ
2
> 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как
функция t.
Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n →
→ ∞ по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким
образом, к следующему утверждению.
        §1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.                 9

   Преобразуем сумму Фурье Sn (x; f ), подставив в нее вместо
коэффициентов Фурье их выражения (1.2). Получим
Sn (x; f ) =
         Z π            n
                           1 π
                              Z
     1                 X
 =          f (t) dt +            f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =
    2π −π                  π −π
                       k=1
                                         n
                                 "                       #
                     1 π
                      Z
                                   1 X
                 =         f (t)     +      cos k(t − x) dt
                    π −π           2
                                        k=1
                                            1 π
                                              Z
                                         =         Dn (t − x)f (t) dt. (1.7)
                                            π −π
    Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом
Дирихле) замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка интегри-
рования, получим
             1 π
              Z
Sn (x; f ) =    Dn (t)f (x + t) dt =
             π −π
                     Z 0 Z π 
                  1
                =         +        D(t)f (x + t) dt =
                  π      −π 0
                            Z π
                          1
                      =         Dn (t)[f (x + t) + f (x − t)] dt. (1.8)
                          π 0
    Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний ин-
теграл в виде
               Z δ Z π                                   
             1            f (x + t) + f (x − t)           1
Sn (x; f ) =       +                            sin    n+    t dt.
             π   0   δ           2 sin 2t                 2

Во втором из этих интегралов знаменатель дроби 2 sin 2t >
> 2 sin 2δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как
функция t.
   Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n →
→ ∞ по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким
образом, к следующему утверждению.

Страницы