Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
ного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно-
непрерывно дифференцируемой функции f , т.е. ряда
˜
S(x; f) B
∞
X
k=1
a
k
sin kx − b
k
cos kx, (5.3)
где a
k
, b
k
— коэффициенты Фурье функции f.
Сопряженным ядром Дирихле называется
˜
D
n
(x) =
n
X
k=1
sin kx =
cos
x
2
− cos
n +
1
2
x
2 sin
x
2
.
Последнее равенство устанавливается так же, как (1.5). Так
же, как (1.8) устанавливается, что частичную сумму
˜
S
n
(x; f ) =
n
X
k=1
a
k
sin kx − b
k
cos kx
ряда (5.3) можно представить в виде
˜
S
n
(x; f ) = −
Z
π
0
˜
D
n
(t)[f(x + t) − f(x − t)] dt =
=
1
π
Z
π
0
h
x
(t) cos

n +
1
2
t
dt +
˜
f(x),
где
h
x
(t) B
f(x + t) − f (x − t)
2 sin
t
2
,
˜
f(x) B −
1
π
Z
π
0
f(x + t) − f (x − t)
2 tg
t
2
dt.
Лемма 5.2. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна
и кусочно-непрерывно дифференцируема, a
k
, b
k
— ее коэффици-
енты Фурье.
Тогда при некотором C > 0 и ∀ n > 2
sup
x∈R
∞
X
n+1
a
k
sin kx − b
k
cos kx
6 C
ln n
n
. (5.4)
24            О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

ного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно-
непрерывно дифференцируемой функции f , т.е. ряда
                          ∞
                          X
              S̃(x; f ) B   ak sin kx − bk cos kx,    (5.3)
                               k=1
где ak , bk — коэффициенты Фурье функции f .
   Сопряженным ядром Дирихле называется
                                                  
                      n          cos x − cos n + 1 x
                      X              2           2
            D̃n (x) =   sin kx =              x      .
                                        2 sin 2
                       k=1
Последнее равенство устанавливается так же, как (1.5). Так
же, как (1.8) устанавливается, что частичную сумму
                               n
                               X
                S̃ n (x; f ) =   ak sin kx − bk cos kx
                                k=1
ряда (5.3) можно представить в виде
                 Z π
S̃ n (x; f ) = −     D̃n (t)[f (x + t) − f (x − t)] dt =
                  0
                                  1 π
                                     Z                          
                                                             1
                              =         hx (t) cos      n+        t dt + f˜(x),
                                  π 0                        2
где
                                  f (x + t) − f (x − t)
                       hx (t) B                          ,
                                         2 sin 2t
                             1 π f (x + t) − f (x − t)
                                Z
                  ˜
                 f (x) B −                                   dt.
                             π 0             2 tg 2t
   Лемма 5.2. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна
и кусочно-непрерывно дифференцируема, ak , bk — ее коэффици-
енты Фурье.
   Тогда при некотором C > 0 и ∀ n > 2
                 ∞
                 X                           ln n
             sup   ak sin kx − bk cos kx 6 C      .     (5.4)
             x∈R                              n
                     n+1

Страницы