Основы применения вычислительной техники и программирование. Беспалов В.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Задача вычисления интегралов возникает во многих областях
прикладной математики. В большинстве случаев не удается найти ана-
литической формулы, т. е. выразить неопределенный интеграл в виде
алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая
формула находится, то она получается настолько сложной, что вычис-
лять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. Распро-
страненными являются также случаи, когда подынтегральная функция
задается графиком или таблицей экспериментально полученных значе-
ний. В таких ситуациях используют различные методы численного ин-
тегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется
в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют
определить эту сумму с приемлемой точностью.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
∫
=
B
A
dxxfI )(
при условии, что A и B конечны и f(x) является непрерывной функцией x
во всем интервале A ≤ x ≤ B. Значение интеграла I представляет собой
площадь, ограниченную кривой f(x), осью x и прямыми x = A, x = B.
Вычисление I проводится путем разбиения интервала от A до B на мно-
жество меньших интервалов, приближенным нахождением площади
каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем
суммировании площадей этих полосок.
Суть методов численного интегрирования состоит в замене по-
дынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой лег-
ко вычисляется в элементарных функциях. Обычно f(x) заменяется не-
которым интерполяционным многочленом, что приводит к квадратур-
ным формулам:
∑
∫
=
+==
n
i
i
B
A
RxfCdxxfI
0
)()(
,
где x
i
– узлы интерполяции;
i – произвольный номер узла;
C
i
– коэффициенты;
R
– остаточный член, или погрешность метода.
Неучет (отбрасывание) R приводит к
погрешности усечения.
К этим погрешностям в процессе вычислений добавляются
погрешно-
сти округления
. Геометрическая интерпретация численного интегриро-
вания представлена на рис. 5.1. и 5.2.
43

Страницы