Основы применения вычислительной техники и программирование. Беспалов В.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.1. Методы прямоугольников
Самыми простыми методами численного интегрирования являют-
ся методы прямоугольников. При этом непосредственно используется
замена определенного интеграла интегральной суммой:
∑
∫
=
+==
n
i
ii
B
A
RhzfdxxfI
1
)()( , h
i
= x
i
– x
i -1
, x
i -1
≤
z
i
≤
x
i
В качестве точек z
i
могут выбираться левые (z
i
= x
i -1
) или правые
(z
i
= x
i
) границы элементарных отрезков. Обозначая y
i
= f(x
i
) , получим
формулы:
•
метод левых прямоугольников: I = h
1
y
0
+ h
2
y
1
+...+ h
n
y
n -1
+ R;
•
метод правых прямоугольников: I = h
1
y
1
+ h
2
y
2
+...+ h
n
y
n
+ R;
•
более точным является метод средних прямоугольников, исполь-
зующий значения функции в средних точках элементарных отрезков:
∑
=
−
+⋅=
n
i
ii
RxfhI
1
2/1
)(
;
x
i -1/2
= 0,5(x
i -1
+ x
i
) = x
i -1
+ 0,5 h
i
, i = 1, 2, …, n.
Для частного случая h
i
= h = const формулы примут вид
∑
=
−
+⋅=
n
i
i
RxfhI
1
1
)( ;
∑
=
+⋅=
n
i
i
RxfhI
1
)( ;
∑
=
−
+⋅+⋅=
n
i
i
RhxfhI
1
1
)5,0( , h = (B – A) / n.
Если координату выразить через начальную точку и принять, что
I ≈ S, то получим формулы, готовые для применения в операторе цикла
с переменной:
∑
=
−⋅+⋅=
n
i
ihafhS
1
))1(( – для метода левых прямоугольников;
∑
=
⋅+⋅=
n
i
ihafhS
1
)( – для метода правых прямоугольников;
∑
=
−⋅+⋅=
n
i
ihafhS
1
))5,0(( – для метода средних прямоугольников.
44

Страницы