Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами. Беспалова М.Б. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Итак, алгоритм максимального правдоподобия (АМП) обнаружения
стохастического сигнала с неизвестными параметрами получаем, заменяя в
(2.3) оценку θ
~
на ОМП
∧
θ. Учитывая (2.4), находим, что АМП формирует
величину
()
θ
θ
LL
Θ∈
∧
= sup (2.5)
и принимает решение, сравнивая (2.5) с порогом
c
.
В некоторых случаях реализация процедуры отыскания максимума
логарифма ФОП в (2.5) наталкивается на аналитические или аппаратурные
трудности . Кроме того , возможны ситуации, когда отсутствует
достоверная информация о размерах области возможных значений
неизвестных параметров
Θ
. В этих и некоторых других случаях может
оказаться полезным вырожденный вариант адаптивного обнаружителя –
квазиправдоподобный обнаружитель (КПО ). Этот обнаружитель
формирует логарифм ФОП (1.18) в некоторой фиксированной точке Θ∈
*
θ
(
)
**
θ LL = (2.6)
и принимает решение , сравнивая
*
L
с порогом
c
. Этот алгоритм
обнаружения переходит в АМП, если положить
∧
= θθ
*
(2.4).
Очевидным образом (2.5) и (2.6) обобщаются на случай обнаружения
при неизвестных параметрах стохастического сигнала и помехи . Для этого
подставим в (1.27) ОМП неизвестных параметров.
()
vLv
Vv
,suparg,
1
,
θθ
θ ∈Θ∈
∧∧
=
(2.7)
- при гипотезе
11
H
(1.21) и
()
vLv
Vv
0
0
suparg
∈
∧
=
(2.8)
- при гипотезе
01
H (1.20). Подставляя затем результат в (1.26) вместо
1
L
и
0
L
, находим, что АМП обнаружения при неизвестных параметрах
стохастического сигнала и помехи должен вырабатывать величину
()()
vLvLL
VvVv
01
,
10
sup,sup
∈∈Θ∈
∧
−= θ
θ
(2.9)
и сравнивать ее с порогом
c
. Аналогичным образом получаем, что КПО в
этом случае вырабатывает величину
(
)
(
)
*
0
**
1
*
10
, vLvLL −= θ , (2.10)
где
**
, vθ
- некоторые фиксированные значения неизвестных параметров
сигнала и помехи .
Синтезированные АМП обнаружения стохастического сигнала с
неизвестными параметрами (2.5) и (2.9), строго говоря, не являются
оптимальными в смысле какого - либо общепризнанного критерия. Тем не
менее, эти АМП обладают рядом полезных свойств . Именно : (2.5) и (2.9)
являются функциями достаточных статистик, если они существуют;
формируемые АМП сигналы являются также минимально достаточными 
                                                         11


     И та к, а лго р и тм ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я (А М П ) о б на р уж е ни я
сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми по луча е м, за ме няя в
                ~               ∧
(2.3) о це нку θ на О М П θ . У чи тыва я (2.4), на хо ди м, что А М П фо р ми р уе т
ве ли чи ну
                                               ∧
                                               L =sup L (θ )                        (2.5)
                                                      θ ∈Θ

и пр и ни ма е тр е ше ни е , ср а вни ва я (2.5) с по р о го м c .
         В не ко то р ых случа ях р е а ли за ци я пр о це дур ы о тыска ни я ма кси мума
ло га р и фма Ф О П в (2.5) на та лки ва е тся на а на ли ти че ски е и ли а ппа р а тур ные
тр удно сти . Кр о ме то го , во змо ж ны си туа ци и , ко гда о тсутствуе т
до сто ве р на я и нфо р ма ци я о р а зме р а х о б ла сти во змо ж ных зна че ни й
не и зве стных па р а ме тр о в Θ . В эти х и не ко то р ых др уги х случа ях мо ж е т
о ка за ться по ле зным выр о ж де нный ва р и а нт а да пти вно го о б на р уж и те ля –
ква зи пр а вдо по до б ный о б на р уж и те ль (КП О ). Это т о б на р уж и те ль
фо р ми р уе тло га р и фм Ф О П (1.18) в не ко то р о й фи кси р о ва нно й то чке θ * ∈Θ
                                             L* = L(θ * )                            (2.6)
и пр и ни ма е т р е ше ни е , ср а вни ва я L с по р о го м c . Это т а лго р и тм
                                                   *

                                                                           ∧
о б на р уж е ни я пе р е хо ди тв А М П, е сли по ло ж и тьθ * = θ (2.4).
       О че ви дным о б р а зо м (2.5) и (2.6) о б о б ща ю тся на случа й о б на р уж е ни я
пр и не и зве стных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи . Д ля это го
по дста ви м в (1.27) О М П не и зве стныхпа р а ме тр о в.
                                     θ∧ , v∧  = arg sup L (θ , v )
                                                                                  (2.7)
                                              θ ∈Θ, v ∈V
                                                           1


- пр и ги по те зе H 11 (1.21) и
                                         ∧
                                        v 0 = arg sup L 0 (v )                      (2.8)
                                                      v ∈V

- пр и ги по те зе H 01 (1.20). П о дста вляя за те м р е зульта тв (1.26) вме сто L 1 и
L 0 , на хо ди м, что А М П о б на р уж е ни я пр и не и зве стных па р а ме тр а х
сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи до лж е н выр а б а тыва тьве ли чи ну
                            ∧
                            L 10 =        sup L 1 (θ ,v ) − sup L 0 (v )            (2.9)
                                       θ ∈ Θ , v ∈V            v ∈V

и ср а вни ва тье е с по р о го м c . А на ло ги чным о б р а зо м по луча е м, что КП О в
это м случа е выр а б а тыва е тве ли чи ну
                                    *
                                  L 10 = L 1 (θ *,v * ) − L 0 (v * ) ,              (2.10)
где θ , v - не ко то р ые фи кси р о ва нные зна че ни я не и зве стных па р а ме тр о в
         *  *


си гна ла и по ме хи .
      Си нте зи р о ва нные А М П о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с
не и зве стными па р а ме тр а ми (2.5) и (2.9), стр о го го во р я, не являю тся
о пти ма льными в смысле ка ко го - ли б о о б ще пр и зна нно го кр и те р и я. Те м не
ме не е , эти А М П о б ла да ю тр ядо м по ле зных сво йств. И ме нно : (2.5) и (2.9)
являю тся функци ями до ста то чных ста ти сти к, е сли о ни суще ствую т;
фо р ми р уе мые А М П си гна лыявляю тся та кж е ми ни ма льно до ста то чными

Страницы