ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
решение о наличии или отсутствии реализации стохастического сигнала
(
)
ts в наблюдаемых данных. Решение о наличии или отсутствии сигнала
выносится в результате обработки реализации наблюдаемых данных в
соответствии с некоторым алгоритмом обнаружения. Естественно ,
желательно синтезировать алгоритм обнаружения, оптимальный в смысле
некоторого критерия. Задачу обнаружения сигнала на фоне шума удобно
сформулировать в терминах проверки статистических гипотез в силу
случайного характера наблюдаемых данных, сигнала и шума . Так,
подлежит проверке гипотеза
(
)
(
)
tntxH
=
:
0
(1.1)
против альтернативы
(
)
(
)
(
)
.:
1
tstntxH
⊕
=
(1.2)
Символ
⊕
означает произвольную комбинацию сигнала и шума .
Теперь синтез алгоритма обнаружения сводится к отысканию правила
выбора решения по наблюдаемым данным
(
)
tx в пользу одной из гипотез
0
H или
1
H .
Воспользуемся в начале дискретным представлением наблюдаемого
процесса
(
)
tx
, обозначив
(
)
(
)
n
txtxx ...
1
= -
n
- мерная выборка в моменты
времени
Tt
k
∈
, где
nk ,1=
, а
T
- интервал наблюдения. Полагаем, что
выборка
X
X
x
,
∈
-
n
- мерное выборочное пространство наблюдаемых
данных. Любой нерандомезированный алгоритм обнаружения при
фиксированном интервале наблюдения выносит одно из двух возможных
решений – верна гипотеза
0
H (1.1) или альтернатива
1
H
(1.2).
Следовательно , синтез алгоритма обнаружения сводится к разбиению
выборочного пространства
X
на две непересекающиеся подобласти
0
X и
1
X , такие , что
.
10
XXX
=
∪
(1.3)
Затем, если
,
0
Xx
∈
то принимается решение в пользу гипотезы
0
H (1.1), а если
1
Xx
∈
- то решение в пользу альтернативы
1
H
(1.2). При синтезе оптимального
алгоритма обнаружения разбиение выборочного пространства
X
на
подобласти
0
X и
1
X
производится в соответствии с выбранным критерием
оптимальности .
1.2. Проверка простых гипотез. Пусть имеется полная априорная
информация о сигнале и шуме , т.е . задано полное в статистическом смысле
описание наблюдаемых данных при обеих гипотезах и известны
априорные вероятности
i
P
каждой из гипотез
.1,0,
=
iH
i
В этом случае
можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский
3
р е ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и р е а ли за ци и сто ха сти че ско го си гна ла
s (t ) в на б лю да е мых да нных. Ре ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и си гна ла
выно си тся в р е зульта те о б р а б о тки р е а ли за ци и на б лю да е мых да нных в
со о тве тстви и с не ко то р ым а лго р и тмо м о б на р уж е ни я. Е сте стве нно ,
ж е ла те льно си нте зи р о ва ть а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле
не ко то р о го кр и те р и я. За да чу о б на р уж е ни я си гна ла на фо не шума удо б но
сфо р мули р о ва ть в те р ми на х пр о ве р ки ста ти сти че ски х ги по те з в си лу
случа йно го ха р а кте р а на б лю да е мых да нных, си гна ла и шума . Т а к,
по дле ж и тпр о ве р ке ги по те за
H 0 : x (t ) = n (t ) (1.1)
пр о ти в а льте р на ти вы
H 1 : x (t ) = n (t ) ⊕ s (t ) . (1.2)
Си мво л ⊕ о зна ча е т пр о и зво льную ко мб и на ци ю си гна ла и шума .
Т е пе р ь си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к о тыска ни ю пр а ви ла
выб о р а р е ше ни я по на б лю да е мым да нным x (t ) в по льзу о дно й и з ги по те з
H 0 и ли H 1 .
В о спо льзуе мся в на ча ле ди скр е тным пр е дста вле ни е м на б лю да е мо го
пр о це сса x (t ) , о б о зна чи в x = x(t1 )... x (tn ) - n - ме р на я выб о р ка в мо ме нты
вр е ме ни tk ∈ T , где k =1,n , а T - и нте р ва л на б лю де ни я. По ла га е м, что
выб о р ка x ∈ X , X - n - ме р но е выб о р о чно е пр о стр а нство на б лю да е мых
да нных. Л ю б о й не р а ндо ме зи р о ва нный а лго р и тм о б на р уж е ни я пр и
фи кси р о ва нно м и нте р ва ле на б лю де ни я выно си т о дно и з двух во змо ж ных
р е ше ни й – ве р на ги по те за H 0 (1.1) и ли а льте р на ти ва H 1 (1.2).
Сле до ва те льно , си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к р а зб и е ни ю
выб о р о чно го пр о стр а нства X на две не пе р е се ка ю щи е ся по до б ла сти X 0 и
X 1 , та ки е , что
X 0 ∪ X1 = X . (1.3)
За те м, е сли
x∈ X 0 ,
то пр и ни ма е тся р е ше ни е в по льзу ги по те зы H 0 (1.1), а е сли
x∈ X 1
- то р е ше ни е в по льзу а льте р на ти вы H 1 (1.2). П р и си нте зе о пти ма льно го
а лго р и тма о б на р уж е ни я р а зб и е ни е выб о р о чно го пр о стр а нства X на
по до б ла сти X 0 и X 1 пр о и зво ди тся в со о тве тстви и с выб р а нным кр и те р и е м
о пти ма льно сти .
1.2. П р о ве р ка пр о стых ги по те з. П усть и ме е тся по лна я а пр и о р на я
и нфо р ма ци я о си гна ле и шуме , т.е . за да но по лно е в ста ти сти че ско м смысле
о пи са ни е на б лю да е мых да нных пр и о б е и х ги по те за х и и зве стны
а пр и о р ные ве р о ятно сти Pi ка ж до й и з ги по те з H i , i = 0,1. В это м случа е
мо ж но и спо льзо ва тькр и те р и й ми ни мума ср е дне го р и ска (б а йе со вски й
