Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами. Беспалова М.Б. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
критерий) оптимальности обнаружения. Оптимальное байесовское
правило обнаружения основывается на минимизации среднего риска [1]
()
.
1
0,
dxHxWП PR
k
X
iik
ki
i
∫
∑
=
= (1.4)
Здесь
ik
П
,
(
)
1,0,
=
ki - матрица потерь, а
(
)
i
HxW
- условная плотность
вероятности (функция правдоподобия) выборки наблюдаемых данных в
предположении, что верна гипотеза
i
H
.
Положим, как это обычно делается, что потери неотрицательны
0
≥
ik
П (1.5)
и что неправильным решениям соответствуют потери большие , чем
правильным
.,
10110100
ПППП
<
<
(1.6)
Учитывая, что в силу условия нормировки
(
)
1=
∫
dxHxW
X
i
и , используя (1.3), можем записать
(
)
(
)
,1
01
dxHxWdxHxW
X
i
X
i
∫∫
−=
(1.7)
.1,0
=
i
Подставляя (1.7) в (1.4), перепишем средний риск в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
.
0
000010111101111010
dxHxWПП PHxWПП PП PП PR
X
∫
−−−++=
(1.8)
Отметим, что в силу (1.5) и (1.6) первые два слагаемые в правой части (1.8)
и множители при условных плотностях вероятности под знаком интеграла
неотрицательны. Обозначим
*
0
X - подобласть выборочного пространства
X
, для которой
(
)
(
)
(
)
(
)
,0
000010111101
<−−− HxWПП PHxWПП P (1.9)
а
*
1
X
- подобласть выборочного пространства
X
, для которой
(
)
(
)
(
)
(
)
.0
000010111101
>−−− HxWПП PHxWПП P (1.10)
Таким образом, к
*
0
X
отнесены все точки
X
x
∈
, для которых
подынтегральное выражение в (1.8) отрицательно . В результате разбиение
выборочного пространства на подобласти
*
0
X и
*
1
X
, согласно (1.9) и (1.10),
обеспечивает минимум среднего риска (1.4). Байесовский алгоритм
обнаружения можно переписать в более удобной для дальнейшего
использования форме , вводя в рассмотрение отношение правдоподобия
[1,2]
[
]
(
)
(
)
./
01
HxWHxWxl = (1.11)
Тогда решение о наличии сигнала будет приниматься, если
[
]
,
*
cxl >
(1.12)
где
(
)
(
)
./
111000010
*
ПП PПП Pc −−= 
                                                                 4


кр и те р и й) о пти ма льно сти о б на р уж е ни я. О пти ма льно е б а йе со вско е
пр а ви ло о б на р уж е ни я о сно выва е тся на ми ни ми за ци и ср е дне го р и ска [1]


                                         ∑ P П ∫ W (x H )dx.
                                                      1
                                            R=              i   ik             i                       (1.4)
                                                 i ,k = 0            Xk

Зде сь П ik ,     (i , k = 0,1 ) - ма тр и ца по те р ь, а W (x H )
                                                                 i  - усло вна я пло тно сть
ве р о ятно сти (функци я пр а вдо по до б и я) выб о р ки на б лю да е мых да нных в
пр е дпо ло ж е ни и , что ве р на ги по те за H i .
        П о ло ж и м, ка к это о б ычно де ла е тся, что по те р и не о тр и ца те льны
                                             П ik ≥ 0                                 (1.5)
и что не пр а ви льным р е ше ни ям со о тве тствую т по те р и б о льши е , че м
пр а ви льным
                                     П 00 < П 01 , П 11 < П 10 .                      (1.6)
У чи тыва я, что в си лу усло ви я но р ми р о вки
                                                   ∫ W (x H ) dx = 1
                                                      X
                                                                     i


и , и спо льзуя (1.3), мо ж е м за пи са ть
                                   ∫ W (x H ) dx = 1 − ∫ W (x H )dx ,
                                   X1
                                                  i
                                                                          X0
                                                                                   i                   (1.7)

i = 0,1. П о дста вляя (1.7) в (1.4), пе р е пи ше м ср е дни й р и ск в ви де
         R = P0 П 01 + P1 П 11 +   ∫ [P (П
                                   X0
                                        1    10    − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 )]dx . (1.8)

О тме ти м, что в си лу (1.5) и (1.6) пе р вые два сла га е мые в пр а во й ча сти (1.8)
и мно ж и те ли пр и усло вных пло тно стях ве р о ятно сти по д зна ко м и нте гр а ла
не о тр и ца те льны. О б о зна чи м X 0* - по до б ла сть выб о р о чно го пр о стр а нства
 X , для ко то р о й
                      P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) < 0 , (1.9)
а X 1* - по до б ла стьвыб о р о чно го пр о стр а нства X , для ко то р о й
                      P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) > 0 . (1.10)
Т а ки м о б р а зо м, к X 0* о тне се ны все то чки x∈ X , для ко то р ых
по дынте гр а льно е выр а ж е ни е в (1.8) о тр и ца те льно . В р е зульта те р а зб и е ни е
выб о р о чно го пр о стр а нства на по до б ла сти X 0* и X 1* , со гла сно (1.9) и (1.10),
о б е спе чи ва е т ми ни мум ср е дне го р и ска (1.4). Ба йе со вски й а лго р и тм
о б на р уж е ни я мо ж но пе р е пи са ть в б о ле е удо б но й для да льне йше го
и спо льзо ва ни я фо р ме , вво дя в р а ссмо тр е ни е о тно ше ни е пр а вдо по до б и я
[1,2]
                                      l [x ] = W (x H 1 ) / W (x H 0 ).               (1.11)
Т о гда р е ше ни е о на ли чи и си гна ла б уде тпр и ни ма ться, е сли
                                                 l [x ] > c * ,                       (1.12)
где
                                   c * = P0 (П 01 − П 00 ) / P (П 10 − П 11 ).

Страницы