Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами. Беспалова М.Б. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Ранее предполагалось, что обрабатывается дискретная выборка
x
из
реализации аналогового случайного процесса
(
)
tx . Это позволяет лишь
приближенно представить случайный процесс. Если же для обнаружения
используется реализация
(
)
tx (а не дискретная выборка
x
), то с порогом
сравнивается функционал отношения правдоподобия (ФОП) [1,2,4]
(
)
[
]
[
]
0max
lim
1
→−
=
=
+
∞→
ii
n
tt
xltxll
Часто оказывается более удобным использовать логарифм ФОП
(
)
[
]
,ln txlL
=
(1.15)
сравнивая его с порогом
Cc ln
=
, где
C
определяется выбранным
критерием оптимальности .
1.3. Проверка сложных гипотез. Задача обнаружения стохастического
сигнала , все статистические характеристики которого априори известны,
встречается весьма редко . Реальные условия приема сигнала на фоне
шума , как правило , приводят к необходимости решения задачи
обнаружения в условиях априорной неопределенности . Априорная
неопределенность относительно сигнала и шума может иметь различную
форму. Соответственно , весьма разнообразным оказываются методы
преодоления априорной неопределенности [1,2,4] .
Рассмотрим случай параметрической априорной неопределенности
относительно обнаруживаемого стохастического сигнала . Положим, что
полное статистическое описание сигнала известно с точностью до
неизвестных параметров
m
θθθ ⋅⋅⋅=
1
, постоянных в течение интервала
наблюдения
[
]
T,0 и распределенных с плотностью вероятности
(
)
1
HW θ
в
области
Θ
∈
θ
. При известной априорной плотности вероятности
(
)
1
HW θ
неизвестных параметров стохастического сигнала используем
классический байесовский подход. Тогда нетрудно найти алгоритм
обнаружения, оптимальный в смысле какого либо из рассмотренных в
пункте 1.2 критериев. Действительно , записав средний риск при
неизвестных случайных параметрах стохастического сигнала , опять
приходим к формуле (1.4), куда надо подставить функцию правдоподобия
(
)
(
)
(
)
.,
111
θθθ dHWHxWHxW
∫
Θ
=
(1.16)
Здесь
(
)
1
,HxW θ - условная плотность вероятности выборки в
предположении, что сигнал присутствует и его неизвестные параметры
приняли значение
θ
. Таким образом, усреднение в (1.16) исключает
случайные параметры и делает гипотезу
1
H
простой. Повторяя далее
выкладки п.1.2, получаем, что оптимальный обнаружитель
стохастического сигнала должен вместо (1.15) вырабатывать логарифм
усредненного ФОП 
                                                    6


       Ра не е пр е дпо ла га ло сь, что о б р а б а тыва е тся ди скр е тна я выб о р ка x и з
р е а ли за ци и а на ло го во го случа йно го пр о це сса x (t ) . Это по зво ляе т ли шь
пр и б ли ж е нно пр е дста ви ть случа йный пр о це сс. Е сли ж е для о б на р уж е ни я
и спо льзуе тся р е а ли за ци я x (t ) (а не ди скр е тна я выб о р ка x ), то с по р о го м
ср а вни ва е тся функци о на л о тно ше ни я пр а вдо по до б и я (Ф О П ) [1,2,4]
                                  l = l [x (t )] = lim l [x ]
                                                   n→∞

                                              max t i +1 − t i → 0
Ч а сто о ка зыва е тся б о ле е удо б ным и спо льзо ва тьло га р и фм Ф О П
                                          L = ln l [x (t )] ,                                (1.15)
ср а вни ва я е го с по р о го м        c = ln C , где          C    о пр е де ляе тся выб р а нным
кр и те р и е м о пти ма льно сти .

       1.3. П р о ве р ка сло ж ных ги по те з. За да ча о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го
си гна ла , все ста ти сти че ски е ха р а кте р и сти ки ко то р о го а пр и о р и и зве стны,
встр е ча е тся ве сьма р е дко . Ре а льные усло ви я пр и е ма си гна ла на фо не
шума , ка к пр а ви ло , пр и во дят к не о б хо ди мо сти р е ше ни я за да чи
о б на р уж е ни я в усло ви ях а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти . А пр и о р на я
не о пр е де ле нно сть о тно си те льно си гна ла и шума мо ж е ти ме ть р а зли чную
фо р му. Со о тве тстве нно , ве сьма р а зно о б р а зным о ка зыва ю тся ме то ды
пр е о до ле ни я а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти [1,2,4] .
         Ра ссмо тр и м случа й па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти
о тно си те льно о б на р уж и ва е мо го сто ха сти че ско го си гна ла . П о ло ж и м, что
по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е си гна ла и зве стно с то чно стью до
не и зве стных па р а ме тр о в θ = θ 1 ⋅ ⋅ ⋅θ m , по сто янных в те че ни е и нте р ва ла
на б лю де ни я [0, T ] и р а спр е де ле нных с пло тно стью ве р о ятно сти W (θ H 1 ) в
о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стно й а пр и о р но й пло тно сти ве р о ятно сти W (θ H 1 )
не и зве стных па р а ме тр о в              сто ха сти че ско го           си гна ла и спо льзуе м
кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти а лго р и тм
о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го ли б о и з р а ссмо тр е нных в
пункте 1.2 кр и те р и е в. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и
не и зве стных случа йных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла , о пять
пр и хо ди м к фо р муле (1.4), куда на до по дста ви тьфункци ю пр а вдо по до б и я
                                W (x H 1 ) = ∫ W (x θ , H 1 )W (θ H 1 )dθ .                (1.16)
                                          Θ

Зде сь         W (x θ , H 1 )  - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в
пр е дпо ло ж е ни и , что си гна л пр и сутствуе т и е го не и зве стные па р а ме тр ы
пр и няли зна че ни е θ . Та ки м о б р а зо м, уср е дне ни е в (1.16) и склю ча е т
случа йные па р а ме тр ы и де ла е т ги по те зу H 1 пр о сто й. По вто р яя да ле е
выкла дки        п.1.2,       по луча е м,  что    о пти ма льный      о б на р уж и те ль
сто ха сти че ско го си гна ла до лж е н вме сто (1.15) выр а б а тыва ть ло га р и фм
уср е дне нно го Ф О П

Страницы