Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами. Беспалова М.Б. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
(
)
[
]
(
)
θθθ dHWLL
∫
Θ
=
1
expln (1.17)
и сравнивать его с порогом
c
. Здесь
(
)
(
)
θ
θ
lL ln
=
(1.18)
- логарифм, а
()
(
)
()
0max
,
lim
1
0
1
→−
=
+
∞→
ii
n
tt
HxW
HxW
l
θ
θ
(1.19)
- ФОП стохастического сигнала с неизвестными параметрами
θ
.
Перейдем к случаю, когда имеет место параметрическая априорная
неопределенность не только относительно обнаруживаемого
стохастического сигнала , но и относительно помехи . Пусть подлежит
проверке сложная гипотеза
(
)
(
)
(
)
tntntxH
101
:
⊕
=
(1.20)
против сложной альтернативы
(
)
(
)
(
)
(
)
.:
111
tstntntxH
⊕
⊕
=
(1.21)
Здесь
(
)
tn
, как и в (1.1) , (1.2) – шум, полное статистическое описание
которого априори известно ;
(
)
tn
1
- помеха , статистическое описание
которой известно с точностью до
1
m
параметров
11 m
vvv ⋅⋅⋅= ,
(
)
ts
-
стохастический сигнал, полное статистическое описание которого
известно с точностью до параметров
∈
θ
. Положим, что неизвестные
параметры помехи
v
распределены с априорной плотностью вероятности
(
)
1i
HvW в области
V
v
∈
, когда верна гипотеза )1,0(
1
=
iH
i
. Будем считать,
что неизвестные параметры помехи и стохастического сигнала
статистически независимы, причем последние распределены с априорной
плотностью вероятности
(
)
11
HW θ
в области
∈
θ
. При известных
априорных плотностях вероятности параметров сигнала и помехи опять
используем классический байесовский подход. Тогда нетрудно найти
алгоритм обнаружения, оптимальный в смысле какого - либо из критериев,
рассмотренных в п .1.2. Действительно , записав средний риск при проверке
гипотез (1.20 ) и (1.21), опять приходим к выражению (1.4), куда следует
подставить функции правдоподобия
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
11111111
dvdHvWHWHvxWHxW
V
θθθ
∫∫
Θ
=
(1.22)
(
)
(
)
(
)
.,
010101
dvHvWHvxWHxW
V
∫
= (1.23)
Здесь
(
)
11
,, HvxW θ - условная плотность вероятности выборки в
предложении, что верна гипотеза (1.21), а неизвестные параметры сигнала
и помехи имеют значения
θ
и
v
соответственно ;
(
)
01
,HvxW - условная
плотность вероятности выборки в предложении, что верна гипотеза (1.20), 
                                                         7


                                     L = ln ∫ exp [L(θ )]W (θ H 1 )dθ                            (1.17)
                                            Θ

и ср а вни ва тье го с по р о го м c . Зде сь
                                                L(θ ) = ln l (θ )                                 (1.18)
- ло га р и фм, а

                                                         W (x θ , H 1 )
                                         l (θ ) = lim
                                                  n →∞    W (x H 0 )                             (1.19)
                                             max t i +1 − t i → 0

- Ф О П сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми θ .
     П е р е йде м к случа ю , ко гда и ме е т ме сто па р а ме тр и че ска я а пр и о р на я
не о пр е де ле нно сть         не       то лько            о тно си те льно         о б на р уж и ва е мо го
сто ха сти че ско го си гна ла , но и о тно си те льно по ме хи . П усть по дле ж и т
пр о ве р ке сло ж на я ги по те за
                                           H 01 : x (t ) = n (t ) ⊕n1 (t )                          (1.20)
пр о ти в сло ж но й а льте р на ти вы
                                      H 11 : x (t ) =n (t )⊕ n1 (t )⊕ s(t ).                        (1.21)
Зде сь n(t ) , ка к и в (1.1) , (1.2) – шум, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е
ко то р о го а пр и о р и и зве стно ; n1 (t ) - по ме ха , ста ти сти че ско е о пи са ни е
ко то р о й и зве стно с то чно стью до m1 па р а ме тр о в v = v1 ⋅ ⋅ ⋅ v m1 , s(t ) -
сто ха сти че ски й си гна л, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о го
и зве стно с то чно стью до па р а ме тр о в θ ∈Θ . По ло ж и м, что не и зве стные
па р а ме тр ы по ме хи v р а спр е де ле ны с а пр и о р но й пло тно стью ве р о ятно сти
W (v H i1 ) в о б ла сти v∈V , ко гда ве р на ги по те за H i1 (i = 0,1) . Буде м счи та ть,
что не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи и сто ха сти че ско го си гна ла
ста ти сти че ски не за ви си мы, пр и че м по сле дни е р а спр е де ле ны с а пр и о р но й
пло тно стью ве р о ятно сти              W (θ H 11 )        в о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стных
а пр и о р ных пло тно стях ве р о ятно сти па р а ме тр о в си гна ла и по ме хи о пять
и спо льзуе м кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти
а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го - ли б о и з кр и те р и е в,
р а ссмо тр е нных в п.1.2. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и пр о ве р ке
ги по те з (1.20 ) и (1.21), о пять пр и хо ди м к выр а ж е ни ю (1.4), куда сле дуе т
по дста ви тьфункци и пр а вдо по до б и я
                      W (x H 11 ) = ∫ ∫ W (x θ , v, H 11 )W (θ H 11 )W (v H 11 )dθ dv,              (1.22)
                                   Θ V

                               W (x H 01 ) = ∫ W (x v, H 01 )W (v H 01 )dv .                      (1.23)
                                             V

Зде сь W (x θ , v, H 11 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в
пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.21), а не и зве стные па р а ме тр ы си гна ла
и по ме хи и ме ю т зна че ни я θ и v со о тве тстве нно ; W (x v,H 01 ) - усло вна я
пло тно стьве р о ятно сти выб о р ки в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.20),

Страницы