Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6
Ñëåäîâàòåëüíî, íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóï-
ëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B:
A ⊂ A ∪ B.
 êàêîì ñëó÷àå íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B âëå÷åò çà ñîáîé
íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À, ò. å. A ∪ B ⊂ A. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà
íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ  âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À.
Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå B ⊂ A.
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî
AB AB∩=∪
.
Ðåøåíèå. Â ðåçóëüòàòå îïûòà ñîáûòèå À ìîæåò ïðîèçîéòè
èëè íå ïðîèçîéòè (ò. å. ïðîèçîéäåò ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå
A
). Áóäåì îáîçíà÷àòü íàñòóïëåíèå ñîáûòèé öèôðîé 1, à íå íà-
ñòóïëåíèå – öèôðîé 0.
Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè íàñòóïëåíèÿ è íå-
íàñòóïëåíèÿ äâóõ ñîáûòèé À è Â è çàïîëíèì ñëåäóþùóþ òàáëè-
öó, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ñðàâíèâàåìûå ñîáûòèÿ:
AB A ∪ B
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
Ìû âèäèì, ÷òî ñòîëáöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáûòèÿì A ∪ B
è
BA ∩
, ñîâïàëè, ò. å. ýòè ñîáûòèÿ ðàâíû
AB
∩
= A ∪ B, òàê êàê
íàñòóïëåíèå îäíîãî èç íèõ âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå äðóãîãî.
Ï ð è ì å ð 3. Èìåþòñÿ ñîáûòèÿ: À – õîòÿ áû îäèí èç òðåõ
ïðîâåðÿåìûõ ïðèáîðîâ áðàêîâàííûé, Â – âñå ïðèáîðû äîáðî-
êà÷åñòâåííûå. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B ?
Ðåøåíèå. Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà
Ω = {ω
0
, ω
1
, ω
2
, ω
3
}, ãäå ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ω
0
ñîñòîèò â òîì,
÷òî áðàêîâàííûõ ïðèáîðîâ íåò, ω
1
– òîëüêî îäèí ïðèáîð áðà-
êîâàííûé, ω
2
– ðîâíî äâà ïðèáîðà áðàêîâàííûå, ω
3
– âñå òðè
ïðèáîðà áðàêîâàííûå. Ñîáûòèÿì À è Â áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü
ñëåäóþùèå ïîäìíîæåñòâà A = {ω
1
, ω
2
, ω
3
}, B = {ω
0
}. Òåïåðü ëåãêî
çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäìíîæåñòâà äëÿ ïðîòèâîïîëîæ-
íûõ ñîáûòèé
A
= {ω
0
} = B,
B
= {ω
1
, ω
2
, ω
3
} = A.
Îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A ∪ B äàåò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå
A ∪ B = {ω
0
, ω
1
, ω
2
, ω
3
} = U.
Ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé A ∩B åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, òàê
êàê íåò îáùèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé
A ∩ B = V.
AB
∩
AB∩
A
B

Страницы