Гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости. Безручко Б.П - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

- 8 -
Примечание. Для анализа дисперсионных свойств в предельных случаях оказыва-
ется весьма эффективным метод размерностей. Оценим с его помощью зависимость
фазовой скорости v
ф
от λ для гравитационных волн на глубокой воде. Для этого необ-
ходимо определиться с системой единиц, в которой поводится рассмотрение (пусть это
будет LMT) и выделить основные физические величины, ответственные за происходя-
щие в системе процессы — за подъем и опускание участков поверхностного слоя жид-
кости. В случае гравитационных волн в
качестве основных величин кроме v
ф
от λ, ха-
рактеризующих скорость и размеры возмущенной области, берут ускорение свободно-
го падения g (так как сила тяжести F
Т
пропорциональна g), плотность жидкости ρ и
глубину водоема H. Зависимость v
ф
=f(λ,g,ρ,H) ищут, учитывая размерности основных
величин: [v
ф
]=LT
-1
, [λ]=L, [g]=LT
-2
, [ρ]=ML
-3
, [H]=L. Можно формально составить мат-
рицу размерностей [4] и выполнить стандартные процедуры метода, но в данном слу-
чае имеется ряд практически очевидных соображений, ускоряющих анализ. Из выра-
жений для размерностей видно, что:
•
ρ не войдет в выражение для фазовой скорости т.к. только в ней имеется единица
массы М;
•
из 5 основных величин 3 имеют независимые размерности, т.е. здесь возможны 2
безразмерные комбинации (критерии подобия);
•
в качестве безразмерных комбинаций могут быть использованы соотношения λ/H и
H/λ.
Таким образом , из соображений совпадения размерностей левой и правой частей ра-
венства можно написать
vgH
ф
=
(
)
H
f
λ
1
(1) и
vgH
ф
=
(
)
f
H
2
λ
(2).
В предельном случае глубокой воды λ<<H скорость волны не должна зависеть от глу-
бины водоема H, а это возможно если в (1) положить
(
)
f
H
1
λ
=
C
H
1
λ
, где
C
1
=const. В этом случае зависимость фазовой скорости от других величин имеет вид
vCg
ф
=⋅
1
λ
, то есть имеет место дисперсия. Причем длинные волны распро-
страняются быстрее. Этим обстоятельством определяется появление предвестника
шторма - длинноволновой «мертвой зыби» на море. Аналогично, в предельном случае
мелкой воды, H<<λ, зависимость скорости от длины волны должна отсутствовать, а
для этого необходимо положить
(
)
fH C H
22
λλ=
. Тогда
vCgH
ф
=
2
,
следовательно, дисперсия отсутствует.
Волны на поверхности от импульсного источника.
Пользуясь дисперсионным уравнением (5) или рис.4, можно проанализировать ха-
рактер движения волновых пакетов, возбужденных на поверхности воды. Если частот-
ный спектр группы волн относительно узок (при этом соседние квазисинусоидальные
волны в группе различаются не сильно, а сама группа в достаточной протяженная, со-
держит много волн), смещение огибающей в пространстве происходит с
групповой
скоростью. В примере рис.1б, это фактически — скорость, с которой смещается грани-
ца пакета или положение наибольшего «горба» в пакете с неизменной огибающей: цуг
квазисинусоидальных волн «движется внутри огибающей, меняя свою амплитуду» и

Страницы