Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
154
существенно отличаются от случая ОДУ. Пусть объект описывается
уравнением (4.16) с G = const (для простоты иллюстраций):
)())(( ttxFdtdx
ξ
+
=
. (4.21)
При фиксированном начальном условии
)(
t
x
СДУ определяют не
единственную будущую траекторию системы, а целый ансамбль
возможных траекторий. Однозначно определяются функцией F
только
условные плотности распределения вероятностей
))()(( txttxp ∆+
.
Аналитически получить формулы для условных распределений в случае
нелинейной F нельзя, но можно это сделать численно путем получения
ансамбля реализаций СДУ, имитируя шумовые воздействия на интервале
от t до t+
∆t с помощью генератора псевдослучайных чисел и численно
интегрируя СДУ по шагам.
Численное интегрирование СДУ представляет собой гораздо более
сложную задачу, чем численное интегрирование ОДУ, еще и потому, что
более сложным понятием является интеграл от случайного процесса
)(
t
ξ
.
Наиболее простой подход – использование метода Эйлера с малым шагом
интегрирования h. Разностная схема Эйлера здесь такова:
hthtxFhtx ⋅+⋅=+ )())(()(
0
ε
, (4.22)
где
),...2(),(),(
000
hthtt ++
ε
ε
ε
– независимые нормально распределенные
величины с нулевым средним и дисперсией
2
G
. Отметим характерный вид
случайного слагаемого с зависимостью интенсивности от шага вида
h .
Этого нет при интегрировании ОДУ, где вклад правой части уравнения в
разностную формулу составляет величину порядка h при малых h. Это
имеет место для СДУ из-за интегрирования белого шума
)(
t
ξ
: в
разностную схему входит случайная добавка с дисперсией,
пропорциональной времени. При очень малом шаге h доминирует
случайное воздействие.
Далее при фиксированном шаге интегрирования h можно
сгенерировать ансамбль реализаций шума ),...2(),(),(
000
hthtt +
+
ε
ε
ε
и,
пользуясь формулой (4.22), рассчитать для каждой реализации значение
)(
t
t
x
∆+
в конце интервала интегрирования. По полученному набору
значений
)(
t
t
x
∆+
можно построить гистограмму, которая и есть оценка
условного вероятностного распределения
))()(( txttxp
∆
+
. При изменении
шага h полученная оценка будет меняться и приближаться к истинному
распределению только в пределе
0→h
, как и в случае ОДУ
приближенное решение стремится к истинному при
0→h
. Практически
же шаг нужно выбирать настолько малым, чтобы при его дальнейшем
уменьшении полученное приближенное распределение уже мало менялось.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- …
- следующая ›
- последняя »
