Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть I. Модели и прогноз
152
где F, G – гладкие функции,
)(
t
ξ
– нормальный белый шум с
автоковариационной функцией
)()(
τ
δ
τ
=
k
.
Введение понятия СДУ совсем не тривиально, поскольку оно
включает в себя понятие производной случайного процесса
dttdx )(
. Как
ее понимать? Наиболее простой путь был бы следующим: считать, что все
реализации процесса x непрерывно дифференцируемы, и определить
производную как случайную величину, значение которой есть обычная
производная реализации
x
. Но это возможно только для процессов
)(
t
ξ
с
непрерывными реализациями – для каждой отдельной реализации
)(
t
ξ
уравнение (4.16) представляло бы собой ОДУ. Но, например, белый шум
не относится к таким процессам, а хорошо описывает многие практические
ситуации (серию независимых толчков) и позволяет упростить многие
выкладки. Для возможности анализа уравнения (4.16) с процессами )(
t
ξ
такого типа понятие производной случайного процесса
dttdx )(
в точке t
обобщили. Производная есть случайная величина
t
txttx
mil
dt
tdx
t
∆
−∆+
=
→∆
)()(
...
)(
0
, где предел понимается в среднеквадратичном
смысле, см., например, [55].
Процесс x в (4.16) может быть и векторным. Тогда и белый шум )(
t
ξ
–
многомерный процесс.
Можно показать, что процесс x в (4.16) – марковский. Для него можно
записать уравнение Фоккера – Планка, где коэффициент сноса есть F, а
коэффициент диффузии –
2
G
.
Рассмотрим частный случай (4.16): 0
=
F
, cons
G
=
, т.е. уравнение
)()( tdttdx
ξ
=
. (4.17)
Решение его формально можно записать в виде
∫
′′
=−
t
t
tdttxtx
0
)()()(
0
ξ
. (4.18)
Стохастический интеграл также определяется с помощью предела в
среднеквадратичном. Причем существуют две наиболее популярных
формы: интеграл Ито (интеграл вводится аналогично обычному интегралу
Римана – с помощью формулы левых прямоугольников) и интеграл
Стратоновича (симметризованный). Вводится также и обобщенный
стохастический интеграл, частными случаями которого являются оба
упомянутых [55]. Но для (4.18), т.е. при
const
G
=
, обе формы совпадают.
Можно показать, что процесс (4.17) – винеровский. Его дисперсия
линейно зависит от времени и равна )()()(
0
2
0
22
ttGtt
xx
−⋅+=
σσ
.

Страницы