Составители:
Рубрика:
Глава 4. Стохастические модели эволюции
153
Дисперсия его приращений на интервале
t
∆
равна
t
G
∆
⋅
2
. Это хорошо
согласуется с результатами наблюдения за движением броуновских
частиц: для них средний квадрат смещения тоже растет пропорционально
времени.
Пример из геофизики. Уравнение (4.17) позволяет получить известный
эмпирический закон Гутенберга – Рихтера повторяемости землетрясений в
зависимости от их интенсивности [62]. Пусть x – величина механического
напряжения (пропорциональная деформациям) на данном участке земной
коры. Предположим, что со временем она может накапливаться из-за
различных случайных факторов (толчков и т.п.) – белого шума. В среднем,
ее квадрат (т.е. дисперсия) растет как
(
)
0
2
ttG −⋅ (4.17), начиная с какого-
то нулевого момента времени, когда напряжение мало. Землетрясения
возникают, когда система набирает (аккумулирует) в течение
определенного времени запас упругой энергии и затем сбрасывает ее тем
или иным способом. Если сброс происходит по достижении некоторого
фиксированного порога E, то время, необходимое, чтобы набрать такую
энергию равно
2
G
E
=
τ
. (4.19)
Далее, из уравнения (4.19) можно получить, что частота появления
землетрясений с энергией не меньше E есть величина
EG
2
~1~
τ
, т.е.
частота появления обратно пропорциональна энергии. К подобному виду
сводится и закон Гутенберга – Рихтера при некоторых предположениях.
Аналогичные законы объясняют появление цунами, оползней и т.п.
событий, подробнее см. в [62].
Пример из молекулярной физики. Если предположить, что
независимые толчки меняют скачком не смещение частицы x, как в
уравнении (4.17), а ее скорость (т.е. белый шум представляет собой
действующие на частицу силы), то получим СДУ второго порядка
)()(
2
2
tdttxd
ξ
=
, (4.20)
которое позволяет получить аналитически закон Ричардсона – Обухова,
который гласит, что средний квадрат смещения (броуновских) частиц при
определенных условиях растет со временем как
(
)
3
0
tt − . Этот закон
выполняется на поверхности океана (относительная диффузия) в
некоторых интервалах масштабов [62].
Численное интегрирование СДУ. Выше мы рассмотрели примеры,
допускающие аналитическое решение, но при нелинейных F или G
приходится пользоваться численными методами, которые в случае СДУ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- …
- следующая ›
- последняя »
