Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6. Ряды наблюдаемых – источник данных для моделирования
199
Согласно одному из вариантов терминологии (принятому в математике)
нормированную взаимную ковариационную функцию называют взаимной
корреляционной функцией (ВКФ). Это коэффициент корреляции между x
и y. Для стационарных процессов ВКФ имеет вид
(
)
(
)
[
]
][D][D
][)(][)(
)(
,
yx
yMtyxMtxM
k
yx
−
+
−
=
τ
τ
, (6.26)
где ][D
x
и ][D y – дисперсии процессов;
1)(1
,
≤
≤
−
τ
yx
k
. Абсолютная
величина )(
,
τ
yx
k достигает 1 в случае детерминированной линейной
зависимости:
β
α
τ
+
=+ )()(
t
x
t
y . Для статистически независимых
процессов 0)(
,
=
τ
yx
k . Однако, если процессы связаны однозначно, но не
линейно, то ВКФ может быть нулевой (например, для )()(
2
txty = и
симметричного распределения x относительно нуля), т.е. не выявит
наличия зависимости. Поэтому говорят, что ВКФ характеризует линейную
зависимость между сигналами. Для оценки ВКФ используют обычную
формулу для эмпирических моментов (п. 2.2.1.4).
Развиты многочисленные модификации и обобщения ВКФ. Так, для
того чтобы охарактеризовать зависимость между компонентами сигналов
только на какой-то выделенной частоте, а не интегрально, используются
взаимная спектральная плотность и функция когерентности. Чтобы
выявить нелинейные зависимости используют обобщения коэффициента
корреляции: коэффициент ранговой корреляции Спирмена [87],
корреляционное отношение [1], функцию взаимной информации [227] и
т.д.
В нелинейной динамике эти подходы получили развитие в двух
направлениях. Первая идея – анализ взаимных (возможно, нелинейных)
зависимостей между векторами состояний
x
(t) и
y
(t), восстановленными по
каждому из рядов методом временных задержек или каким-либо другим
(пп. 6.1.2 и 10.1.2). Методики опираются на поиск ближайших соседей в
пространствах состояний [186, 285] или на построение взаимных
прогностических моделей [301, 226]. Если между одновременными
векторами состояния систем имеется однозначная зависимость
x
(t) =
F
(
y
(t)), говорят об обобщенной синхронизации [297, 285, 195].
Вторая идея состоит в анализе только фаз исследуемых сигналов.
Фаза является очень чувствительной переменной, поэтому наличие
взаимодействия между системами при довольно общих условиях в первую
очередь проявляется в наличии зависимостей между их фазами, тогда как
амплитуды могут быть некоррелированными.
Если разность (развернутых) фаз постоянна consttt
yx
=
−
)()(
, то
говорят, что имеет место фазовая синхронизация. Это эффект

Страницы