Составители:
Рубрика:
Глава 7. Восстановление функциональных временных зависимостей
201
аппроксимации, регрессии, интерполяции, экстраполяции.
Рассматривается выбор класса моделей для аппроксимации и проблема
«переобучения» модели. В п. 7.3 обсуждаются вопросы диагностической
проверки моделей, в п. 7.4 рассмотрены приложения моделей вида
),(
c
t
f
=
η
для прогноза и численного дифференцирования.
7.1. Оценка параметров
Рассмотрим задачу о «прозрачном ящике»: структура модели
известна, неизвестны конкретные значения параметров. Начнем с
детерминированного случая. Исходный процесс задан формулой
),(
0
ctf
=
η
, (7.1)
известен вид функции f, неизвестны значения
0
с . Задача построения
модели вида ),( c
t
f
=
η
сводится к такому подбору значений P параметров,
чтобы график функции f прошел в точности через экспериментальные
точки
()
Nit
ii
,...,1,, =
η
. Решение находится из системы уравнений
),...,,(
1 Pii
cctf=
η
, ni ,...,1
=
, (7.2)
где выбраны
n моментов наблюдений из общего числа N. Если f линейна
по параметрам, то в типичном случае система (7.2) имеет единственное
решение при
P
n =
. Оно может быть найдено одним из многих известных
методов [153]. Проблема возникает, если матрица системы вырождена или
плохо обусловлена (некорректность или плохая обусловленность задачи).
Тогда говорят, что параметры модели неидентифицируемы по
имеющемуся набору данных. Проблема иногда может устраняться при
замене одних моментов наблюдений
i
t в (7.2) другими. Если число точек N
во временном ряде больше P, то остальные точки могут использоваться
для проверки адекватности модели. Если
N
меньше
P
, то задача не имеет
единственного решения, т.е. она некорректно поставлена.
В случае нелинейной зависимости f от
c
система (7.2) решается
приближенными численными методами [73, 85, 153]. Согласно любому из
них выбирается некоторая стартовая догадка
)0(
с для искомого вектора
параметров. Путем решения линеаризованной задачи (метод Ньютона) или
иначе получают поправку
)0(
с
∆
и новое приближение
)0()0()1(
ссс ∆+= . И
так далее, пока итерационный процесс не сойдется с заданной точностью к
некоторому решению
с
ˆ
. При заданной стартовой догадке будет найдено
только одно из решений системы, но если она имеет много решений, то
нужно найти их все, чтобы потом из них выбрать истинное. Это
принципиальная проблема, так как не существует общего метода, который
бы гарантировал отыскание всех решений [73], хотя разработано
множество более или менее успешных алгоритмов. При небольшом числе
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- …
- следующая ›
- последняя »
