Составители:
Рубрика:
Глава 7. Восстановление функциональных временных зависимостей
213
близость модельной функции f и истинной F (п.7.2.2).
11
При этом очень
важно выбрать оптимальный размер модели (п.7.2.3) и подходящий класс
аппроксимирующих функций (п.7.2.4). Иногда это можно сделать,
опираясь на визуальное рассмотрение наблюдаемого сигнала и подбирая
элементарные функции с похожими графиками. Но в общем случае
используется аппроксимация в некотором функциональном базисе.
7.2.2. Расчет параметров
Параметры модели
с
нужно подобрать так, чтобы наилучшим образом
обеспечить условие
)()
ˆ
,(
t
F
t
f
≈
c
. Причем близость функций желательна
не только в моменты наблюдений
N
tt ,...
1
, но и в промежуточные моменты,
а иногда даже в прошлые или будущие (последнее, однако, весьма
затруднительно). Для количественной характеристики близости вводится
соответствующая мера расстояния – метрика
ρ
в пространстве функций
12
.
Наиболее популярный подход – использование в качестве
ρ
среднего
квадрата отклонения с весовой функцией )(
t
p
:
(
)
∫
−= dttptFtfFf )()(),(),(
2
c
ρ
. (7.25)
Физический смысл такой метрики – средний по t квадрат отклонения
модельной функции
),( c
t
f
от )(
t
F
, если t – случайная величина с
плотностью распределения )(
t
p
. Для случая (7.24) расстояние
ρ
с
точностью до дисперсии помехи равно среднему квадрату отклонения
),( c
t
f
от )(
t
η
:
11
Даже если истинная регрессия )(tF попадает в выбранный класс ),( ctf , т.е.
),()(
0
ctftF = для некоторого
0
c , то задачу восстановления )(tF нельзя «подменить»
задачей нахождения как можно более точной оценки параметров
0
c
. Дело в том, что
наилучшая оценка параметров в «истинном» классе
),( ctf не обязательно
обеспечивает наилучшее качество приближения F, поскольку наилучшая
аппроксимация может быть достигнута в другом классе [51].
12
К вопросу о корректности постановки задачи аппроксимации. Предполагается, что
существуют значения параметров
с
ˆ
, которые доставляют минимум расстоянию
),( Ff
ρ
. Для полного комфорта желательно, чтобы функции вида
),( c
tf
были плотны
в классе функций, к которому принадлежит
)(
tF
. Это означает, что в окрестности
почти каждой
)(
tF
из этого класса найдутся нужные нам
),( c
tf
, с помощью которых
ее удастся аппроксимировать с заданной точностью. Наконец, если
),( c
tf
образуют
чебышевское множество [112], т.е. содержащее все предельные точки
последовательностей функций ),( c
tf , оптимальная аппроксимация будет и
единственной! Примером служат радиальные базисные функции (см. п.10.2.1.2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- …
- следующая ›
- последняя »
