Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»
255
Чтобы развеять пессимистические нотки предыдущих абзацев,
отметим, что и в такой тяжелой постановке, как «черный ящик», тоже
удается добиться успеха при моделировании реальных сложных объектов.
Этому есть немало примеров, получен ряд красивых теоретических
результатов и разработаны практические алгоритмы реконструкции,
которые во многих случаях оказываются весьма эффективными для
прогноза и достижения других целей моделирования.
10.1. Реконструкция фазовой траектории
В соответствии со сказанным в п. 6.1.2, при построении эмпирических
моделей по временному ряду
{
}
)(),...,(),(
21 N
ttt
η
η
η
можно использовать в
качестве недостающих переменных последовательные значения
наблюдаемой (вектор состояния модели
)])1((),...,(),([)(
τ
η
τ
η
η
−
+
+= Dtttt
iiii
x , где
τ
– время задержки), ее
последовательные производные (вектор состояния
])(,...,)(),([)(
11 −−
=
D
i
D
iii
dttddttdtt
ηηη
x
) и т.д. Эти подходы часто
применялись с давних пор даже без специального обоснования. Так,
первый из них используется с 1927 года [338] при построении широко
известных авторегрессионных моделей (см. (4.12) в п. 4.4), где будущее
значение наблюдаемой предсказывается по нескольким предыдущим. Это
выглядит вполне разумно: если нет другой информации, кроме
наблюдаемого ряда, то на что же еще опираться при прогнозе, как не на
предыдущие значения наблюдаемой или какие-либо их комбинации?
В начале 1980-х годов была показана связь обоих этих эмпирических
подходов с теорией динамических систем. Было доказано, что при
реконструкции по скалярной временной реализации динамической
системы
2
и метод временных задержек, и метод последовательных
производных гарантируют, что в новых переменных будет получено
эквивалентное
3
описание исходной динамики при достаточно большой
размерности восстановленных векторов D. А именно, должно выполняться
условие
d
D
2>
, где d – размерность множества M в фазовом пространстве
исходной системы, на котором происходит моделируемое движение.
4
Эти
2
При некоторых условиях гладкости, см. ниже п. 10.1.1.2.
3
Точнее, диффеоморфное описание, п. 10.1.1.2.
4
Множество M – компактное гладкое многообразие, а величина d – его топологическая
размерность, см. п. 10.1.1.2. Есть обобщения теоремы на случай негладких множеств M
и фрактальной размерности d, которые мы здесь не обсуждаем [299]. Заметим, что
множество M, о котором идет речь в теоремах, не обязательно соответствует
движению на аттракторе. Например, пусть исследуемая система имеет аттрактор –
предельный цикл C, который «намотан» на тор M. Если нас интересует описание
только установившегося периодического движения на цикле C, то, согласно теореме

Страницы