Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 275 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»
257
Если бы наблюдались все три переменных
321
,, yyy
(все компоненты
вектора
y
), то можно было бы сразу приступать к аппроксимации
зависимости следующего состояния
)(
τ
+
t
y от текущего )(
t
y . Эта
зависимость однозначна, т.к.
y – вектор состояния. Последнее означает,
что каждый раз, когда наблюдается некоторое значение вектора
*
yy = ,
через фиксированный интервал времени каждый раз будет наблюдаться
одно и то же событие (одно и то же будущее). Если же наблюдаются не все
компоненты вектора состояния, то ситуация может быть сложнее.
Поставим вопрос: сколько и каких переменных достаточно использовать
для эквивалентного описания исходной динамики, а какие варианты не
подходят для этого?
Поскольку множество M, на
котором происходит
рассматриваемое движение,
одномерно (d = 1), то должна
существовать такая скалярная
динамическая переменная, с
помощью которой можно описать
это движение. Например,
замкнутую кривую M (рис.10.1,а)
можно отобразить на окружность
(рис.10.1,б). Важно, что при этом
можно взаимно однозначно связать
векторы
)(
t
y на цикле M с углом
поворота точки на окружности
)(
t
φ
.
6
Благодаря взаимной
однозначности, переменная
φ
полностью задает состояние
системы: значение фазы
*
φ
всегда
соответствует одному и тому же
значению вектора
*
y в тот же
момент времени. Располагая
наблюдаемой
φ
, можно строить
одномерную (
1=
D
) динамическую
модель с
φ
=
1
x
.
Но далеко не каждая переменная подходит для одномерного
динамического описания. Так, если наблюдается лишь одна из компонент
вектора
y
, например
1
y , то замкнутая кривая отображается на отрезок (это
6
Эта переменная – «свернутая» фаза колебаний, рассматривавшаяся в п. 6.4.3.
Рис.10.1. Одномерное представление
динамики на предельном цикле (а) с
помощью отображения на окружность (б)
и проекции на координатную ось (в).
Размерность фазового пространства
исходной системы равна 3, размерность
многообразия M – замкнутой кривой d = 1,
размерность «восстановленных» векторов
в обоих случаях D = 1. Два разных
исходных состояния (черные кружки на
рисунке а) соответствуют двум разным
точкам на окружности (рисунок б) и одной
и той же точке на оси (рисунок в).
Отображение цикла на окружность
взаимно однозначно, а на отрезок – нет

Страницы