Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 274 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть II. Моделирование по временным рядам
256
утверждения составляют содержание знаменитых теорем Такенса [323],
см. п. 10.1.1.
Подчеркнем, что теоремы относятся только к случаю, когда исходный
объект – динамическая система (см. п. 2.2.1, с. 44). При моделировании
реальных объектов использование упомянутых методов возможно и без
упоминания о теоремах (как и делалось на протяжении не одного десятка
лет), т.к. на практике нельзя проверить, выполняются ли условия теорем,
5
а
размерность d неизвестна. Но значение теоретических результатов Такенса
все же достаточно велико. Во-первых, после них стало ясно, что для
достаточно широкого класса систем упомянутые методы с гарантией дают
недостающие переменные, пригодные для построения динамической
модели. Так что теоремы «благословляют» практическое применение
методов, особенно если есть какие-либо соображения в поддержку того,
что условия теорем для данной ситуации выполняются. Во-вторых, с
опорой на идеи теории динамических систем впоследствии были развиты
новые полезные подходы к подбору параметров алгоритма
реконструкции – времени задержки
τ
(например, первый минимум
функции взаимной информации), размерности модели D (например, метод
ложных ближайших соседей) и т.д., см. п. 10.1.2.
10.1.1. Теоремы Такенса
Поясним сначала нестрого содержание теорем на простом примере
(п. 10.1.1.1), а затем приведем их математическую формулировку и
обсудим некоторые детали на более строгом языке (п. 10.1.1.2). В данной
главе мы будем обозначать вектор состояния исходной системы
y в
отличие от восстановленных векторов –
x
. Обозначение d относится всегда
к размерности множества M в фазовом пространстве исходной системы
(это не обязательно размерность всего пространства, т.е. векторов
y
), а D –
это размерность восстановленных векторов
x
и, следовательно, модели.
10.1.1.1. Пояснительный пример. Пусть объект представляет собой
трехмерную динамическую систему с непрерывным временем. Вектор
состояния ),,(
321
yyy=y . Пусть движение происходит на предельном
цикле (рис.10.1,а), т.е. на множестве M размерности d = 1.
Такенса, для реконструкции достаточно использовать D > 2 модельных переменных.
Если же нужно описать движение на всем торе M, включая и переходные процессы на
нем, то нужно D > 4 переменных. Обычно на практике имеется одна реализация,
которая соответствует установившемуся процессу. Поэтому и говорят часто о
реконструкции аттрактора.
5
Насколько вообще можно говорить о выполнении условий математической теоремы
применительно к реальному объекту.

Страницы