Составители:
Рубрика:
Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»
259
динамической модели. Во втором случае это не так. Точка
самопересечения
*
2
*
1
, yy на плоскости ),(
21
yy , рис.10.2,б, соответствует
двум различным состояниям исходной системы (т.е. связь
x и y не взаимно
однозначна). Поэтому, когда наблюдаются значения
*
2
*
1
, yy , то будущее по
ним однозначно предсказать нельзя. Значит, с помощью такого вектора
x
не удастся осуществить динамическое описание процесса.
8
Аналогичная ситуация имеет место, если в качестве двух переменных
модели используются не
1
y и
2
y , а две переменных, полученных любым из
упомянутых выше методов. Пусть наблюдаемая )(
y
h
=
η
, где h –
произвольная гладкая (измерительная) функция, а компоненты вектора
x
получены методом временных задержек ))(),(()(
τ
η
η
+
=
t
t
t
x . При этом, в
зависимости от h и
τ
, может иметь место ситуация, аналогичная рис.10.2,а,
– нет самопересечений на плоскости
(
)
21
, xx
, но столь же типична и
ситуация рис.10.2,б, когда динамическое моделирование невозможно.
Таким образом, даже число переменных большее, чем размерность
исходного движения, 12
=
>
=
d
D
, не гарантирует возможности
динамического описания.
Наконец, рассмотрим трехмерное представление. Например, когда для
наблюдаемой
)(
y
h=
η
векторы восстанавливаются в виде
))2(),(),(()(
τ
η
τ
η
η
++=
t
t
t
t
x
. Образ исходной замкнутой кривой в
трехмерном пространстве (
321
,, xxx ) – также замкнутая кривая. И в
типичном случае она тоже не имеет самопересечений. Это означает, что
имеет место взаимно однозначное соответствие между векторами
x и y.
Исходное движение на предельном цикле может быть эквивалентно
описано с помощью векторов
x
. Вообще говоря, самопересечение кривой в
пространстве
321
,, xxx
может иметь место, но это ситуация вырожденная,
нетипичная. Интуитивно не трудно согласиться с тем, что
самопересечение кривой в трехмерном пространстве, грубо говоря, крайне
маловероятно.
Итак, в рассмотренном примере эквивалентное описание динамики
достигается с гарантией только при восстановлении в пространстве
размерности d
D
2> .
9
Это и есть основное утверждение теорем Такенса.
Подчеркнем, что это – достаточное условие. В отдельных случаях может
оказаться возможным эквивалентное описание даже при
d
D
= (при
удачной наблюдаемой). При реконструкции уравнений на практике
теорема Такенса служит лишь для дополнительной психологической
8
Это возможно только локально – в удалении от точки самопересечения.
9
Эквивалентное описание движения на предельном цикле гарантируется при D = 3,
даже если этот цикл «живет» в бесконечномерном фазовом пространстве.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- …
- следующая ›
- последняя »
