Составители:
Рубрика:
Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»
261
евклидовом пространстве являются сфера, тор, бутылка с ручкой и т.п.
(рис.10.3,а), но не (двойной) конус (рис.10.3,б).
Рис.10.3. Примеры множеств, которые являются (а) и не являются (б) многообразиями
Если Ψ – n раз дифференцируемое отображение с таким же
обратным, то говорят, что M принадлежит классу
n
С
. В случае
1≥n
отображение
Ψ
называют диффеоморфизмом. Если многообразие M
отображается с помощью диффеоморфизма
Ψ
на многообразие
D
R
∈S ,
d
D
≥ , то M и S называют диффеоморфными друг другу. При этом
говорят, что S – вложение многообразия M в евклидово пространство
D
R
.
Ниже потребуется еще, чтобы многообразие M было ограничено и
замкнуто. Первое условие означает, что его можно заключить в шар
конечного радиуса, а второе – то, что все предельные точки многообразия
M принадлежат ему же. Такое многообразие M в конечномерном
пространстве называют компактным.
Постановка вопроса и обозначения. Каждой фазовой траектории
системы (10.1) )(
t
y
,
∞
<
<
t
0, на многообразии M соответствует
временная реализация наблюдаемой величины
η
: ))(()(
t
h
t
y
=
η
,
∞
<
<
t
0.
Вектор
)(
0
ty
однозначно определяет будущее поведение системы (10.1), в
частности, всю реализацию
)(
t
η
,
0
tt ≥ . Можно ли по фрагменту временной
реализации
)(
t
η
в окрестности момента
0
t однозначно определить
положение системы на многообразии M в момент
0
t и, следовательно, всю
будущую эволюцию? Другими словами, можно ли по значениям )(
t
η
на
ограниченном интервале времени «восстановить» состояние системы? Это
ключевой вопрос, и теоремы Такенса дают положительный ответ на него
при выполнении ряда условий.
Сначала введем необходимые обозначения для строгого
рассмотрению метода задержек. Поставим в соответствие вектору
y
(t) D-
мерный вектор )])1((),...,(),([)(
τ
η
τ
η
η
−
+
+
=
D
t
t
t
t
x . Зависимость
x
от
y
(имеются в виду значения векторов в один и тот же момент времени t)
описывается однозначным отображением
D
R→Ψ M:
, которое выражается
через оператор эволюции MM: →
Φ
t
и функцию
R
h →M:
следующим
образом:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- …
- следующая ›
- последняя »
