Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
260
уверенности, ведь согласно ей существует конечная размерность модели
D, при которой вероятен успех динамического описания! Реально же
приходится пробовать различные значения D, начиная с малых, и
стараться получить «хорошую» модель как можно меньшей размерности,
чтобы избежать трудностей, связанных с упомянутым выше «проклятием
размерности».
10.1.1.2. Математические детали.
Сформулируем теоремы более
строго. Для этого потребуется ввести ряд терминов и обозначений. Пусть
объект представляет собой динамическую систему:
)),(()(
)),(()(
00
tt
ttt
t
yhη
yy
=
Φ
=
+
(10.1)
где
y
– вектор состояния,
t
Φ
– оператор эволюции,
h
– измерительная
функция.
10
Вектор наблюдаемых конечномерен
m
R∈η
, причем мы будем
говорить только о наиболее распространенном (и наиболее сложном для
моделирования) случае скалярного временного ряда
)(
i
t
η
, m = 1.
Многообразие. Пусть движение системы происходит на многообразии
M конечной размерности d.
11
Многообразие – это обобщение понятия
гладкой поверхности в евклидовом пространстве (подробности см. в [58,
112, 299] и [115, с. 244-248]). Грубо, d-мерное многообразие M – это
поверхность, которую локально в окрестности каждой точки можно
параметризовать с помощью d евклидовых координат. Другими словами,
любую точку
M∈p и ее локальную окрестность )( p
U
можно взаимно
однозначно и взаимно непрерывно отобразить на d-мерный фрагмент
(например, шар) пространства
d
R
. Полученный образ )(:
U
U
Ψ→Ψ
называют картой окрестности, а само непрерывное отображение
Ψ
–
гомеоморфизмом.
Примерами двухмерных многообразий в трехмерном
10
Если объект – отображение
))(()(
1 nn
tt yFy
=
+
, то оператор эволюции
))((
0∆
t
t
yΦ
есть
просто функция
F
. Если объект – система ОДУ
))(( tdtd yFy
=
, то функция
))((
0
t
t
yΦ
–
результат интегрирования ОДУ на интервале шириной t. Если исходная система –
уравнение в частных производных
,...),,(
22
ryryyFy ∂∂∂∂=∂∂ t
, где r –
пространственная координата, то y есть вектор бесконечномерного пространства
функций
y
(
r
), а
t
Φ
– оператор, действующий в этом пространстве.
11
Это может иметь место даже для бесконечномерной системы. Для описания
многомерных систем вводится полезное понятие инерциального многообразия [115]. Не
строго, это многообразие минимальной размерности d, каждая точка которого
полностью определяет состояние исходной системы. Величины, определяющие
положение точек на многообразии (d штук), называют параметрами порядка.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- …
- следующая ›
- последняя »
