Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
262
Φ
Φ
=
Ψ
Ψ
Ψ
≡Ψ=
−
)))(((
...
)))(((
))((
))((
...
))((
))((
))(()(
)1(
2
1
th
th
th
t
t
t
tt
D
D
y
y
y
y
y
y
yx
τ
τ
. (10.2)
Гладкость Ψ (непрерывность, дифференцируемость, существование и
непрерывность производных высокого порядка) определяется гладкостью
τ
Φ
и h. Образом многообразия M под действием
Ψ
является некоторое
множество
D
R⊂S
.
Поставленный выше вопрос формулируется теперь так: является ли
Ψ диффеоморфизмом? Если да, то S – это вложение M и любому вектору
x из S соответствует только один вектор y из M.
12
В таком случае x(t)
может служить вектором состояния для описания динамики на M и
уравнения (10.1) можно переписать в терминах новых переменных:
)),(()(
00
ttt
t
xx
ϕ
=
+
(10.3)
где новый оператор эволюции )))((()(
1
xx
−
ΨΦΨ=
tt
ϕ
. Причем в силу
диффеоморфизма локальные свойства динамики (устойчивость и типы
неподвижных точек и т.д.) сохраняются. Любой фазовой траектории
y
(t) на
M взаимно однозначно соответствует траектория
x
(t) на S. Если система
(10.1) имеет аттрактор в M, то система (10.3) имеет аттрактор в S; такие
характеристики, как фрактальная размерность и ляпуновские показатели
для этих аттракторов одинаковы. Другими словами, система (10.3) на
многообразии M и система (10.1) на многообразии S – это два «почти
одинаковых» представления одной и той же динамической системы.
Ясно, что отображение
Ψ
(10.2) является
диффеоморфизмом не всегда. Так, на рис.10.2,б
представлен пример, когда гладкое отображение
Ψ
(проецирование) одномерного многообразия M
имеет неоднозначное обратное отображение
1−
Ψ
(рис.10.2,б). Возможна и другая нежелательная
ситуация, представленная на рис.10.4:
1−
Ψ
12
Другими словами, если в разные моменты времени t встречается один и тот же
фрагмент ряда [
))1((),...,(),(
τ
η
τ
η
η
−
+
+ dttt ], то за ним всегда следует одно и то же
будущее. Это дало бы обоснование прогностическому методу аналогов,
применявшемуся еще Э. Лоренцем. Метод основан на поиске фрагментов временного
ряда в прошлом, которые «похожи» на текущий (с точностью до конечной величины
ε
в некоторой метрике), и использовании какой-либо комбинации следовавших за
ними фрагментов в качестве прогноза. В более современной трактовке – это локальные
модели, см. п.10.2.1.4.
Рис.10.4. При
проецировании
одномерного
многообразия M
может иметь место
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- …
- следующая ›
- последняя »
