Составители:
Рубрика:
Глава 10. Реконструкция уравнений: «черный ящик»
263
однозначно, но не дифференцируемо. Последнее имеет место в точке
возврата на множестве S (в проекции), в окрестности которой двухмерный
вектор
),(
21
yy
не может использоваться для описания динамики с
помощью ОДУ, т.к. точка возврата оказывается неподвижной точкой, и
кривая S не может быть предельным циклом. Дифференциальные свойства
M и S оказываются различными из-за недифференцируемости
отображения
1−
Ψ
.
Формулировка теоремы. Возвращаясь к системе (10.1) и отображению
(10.2), можно сказать, что для разных
Φ
, M, h, d, D и
τ
можно встретиться
с любой из упомянутых ситуаций. Множества самопересечений и
множества возврата на S =
Ψ
(M) могут быть весьма обширными, что
крайне нежелательно. Но можно встретить и «хорошую» ситуацию
вложения (рис.10.2,а). Приведенный ниже результат, впервые был строго
получен голландским математиком Флорисом Такенсом [323], а затем
обобщен в работе [299]. Он говорит о том, при каких условиях
обеспечивается вложение исходного компактного d-мерного многообразия
M в пространство
D
R
с помощью отображения (10.2).
13
Теорема 1.
Пусть M – компактное d-мерное многообразие класса
2
C .
Для почти любой
14
пары
t
Φ
, h (где
t
Φ
и h дважды непрерывно
дифференцируемы на M) отображение
Ψ
: M
→
D
R
, определяемое (10.2),
есть диффеоморфизм
15
для почти любого
16
0>
τ
и d
D
2> .
Обсуждение. Итак, если взять достаточно большую размерность
векторов временных задержек
x
(10.2), то получим (за исключением
вырожденных случаев) вложение многообразия M и сможем использовать
x в качестве векторов состояния динамической модели. Возможна
следующая наглядная интерпретация того, что размерность D должна быть
больше именно величины
d2
[115]. Чтобы установить неоднозначность
13
Теорема Такенса тесно связана с теоремой Уитни, которая касается произвольных
отображений, из курсов дифференциальной геометрии. Первая отличается тем, что
относится к специальному случаю отображений (10.2), определяющихся оператором
эволюции динамической системы [299].
14
Термин «почти любая пара» понимается у Такенса в смысле типичности. Например,
если для какого-либо
t
Φ отображение (10.2) не дает вложения, то найдется такая сколь
угодно малая вариация
tt
Φ
+Φ
δ
, что вложение будет достигнуто. Более строго,
типичные свойства выполняются на пересечении открытых и всюду плотных
множеств. Метрическим аналогом типичности является превалентность (prevalence)
[299].
15
Следовательно, отображение (10.2) дает вложение многообразия M. Пространство
D
R
, в котором содержится образ S = Ψ(M) называют пространством вложения.
16
Например, в случае наличия предельного цикла внутри M величина
τ
не должна быть
равна периоду колебаний на этом цикле. Подробнее см. [299].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- …
- следующая ›
- последняя »
