Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
264
отображения
1−
Ψ
, надо на многообразии M найти такие два вектора
1
y
и
2
y
, для которых
)()(
21
yy Ψ=Ψ
. Последнее равенство представляет собой
систему D уравнений с d2 переменными (по d компонент каждого вектора
1
y
и
2
y
, задающих положение на M). Грубо, эта система не имеет решений
в типичном случае, если число уравнений больше числа неизвестных, т.е.
d
D
2>
. Это и есть утверждение теоремы Такенса.
Еще раз подчеркнем, что условие
d
D
2> , наложенное
на размерность
вектора
x
, – достаточное, но не необходимое. Т.е. при соблюдении условия
диффеоморфизм гарантирован с точностью до типичности, но если
«повезет», то можно получить «хорошую реконструкцию» и при меньшей
размерности, см. рис.10.1,а,б, где вложение одномерного многообразия
достигнуто при 1
=
D
и является случаем общего положения.
Какими могут быть те нетипичные случаи, когда теоремы не
справедливы? Упомянем два примера [115].
1) Измерительная функция – константа:
ah
=
)(
y
. Это гладкая
функция, но она отображает всю динамику в одну точку. Малым
шевелением измерительной функции это устраняется – добавкой к a
«малой» функции от y (конечно, не просто константы).
2) Система, состоящая из двух подсистем с однонаправленной связью
)(),,(
22211
yGyyyFy == dtddtd
, при наблюдении только за ведущей
подсистемой –
)(
2
yh=
η
. В наблюдаемой нет информации об
1
y
, поэтому
вложение невозможно. Устраняется добавкой зависимости от
1
y к
η
.
Подобные теоремы. В [299] доказан более общий вариант теоремы 1
– для случая фильтрованного вложения, когда в качестве координат
вектора x берутся не просто последовательные значения наблюдаемой, а
их линейные комбинации, которые можно рассматривать как результат
действия линейного нерекурсивного фильтра
Такенс доказал подобную теорему для использования
последовательных производных наблюдаемой в качестве компонент
вектора состояния:
=
−− 11
)(
...
)(
)(
)(
DD
dttd
dttd
t
t
η
η
η
x
, (10.4)
где d
D
2> . Она формулируется полностью аналогично теореме 1, но с
более жесткими требованиями к гладкости функций
t
Φ
и h. А именно,
требуется существование непрерывных производных D-го порядка каждой
из них, чтобы существовали производные, используемые в (10.4).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- …
- следующая ›
- последняя »
