Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
86
экспериментах при фиксированном
h проводилось N опытов,
N
0
– число исходов с
«орлом»); г) к содержательной модели. Закрашенная сторона – «орел»
При динамическом моделировании будем характеризовать состояние
монеты координатой y и скоростью v ее центра тяжести, а также углом
поворота
α
вокруг оси z, перпендикулярной осям x и y (рис.2.14,г), и
угловой скоростью
ω
. Выделим три качественных этапа эволюции
системы, введя на каждом из них свои приближения.
Старт. Начальные условия: монета начинает двигаться, находясь
«орлом» вверх, с линейной скоростью
0
v , направленной вертикально,
вращение происходит по часовой стрелке с угловой скоростью
0
ω
(рис.2.14,г). Если при старте
α
sin2 dy
<
(край монеты после начала
движения давит на опору – «вращение опережает взлет»), будем считать,
что она остается на «орле». При
dv >
00
2
ω
монета улетает, не задевая
плоскость 0=y .
Полет. Пренебрежем взаимодействием монеты с воздухом. Пусть она
взаимодействует только с Землей. Тогда угловая скорость вращения
остается неизменной и равной
0
ω
, а центр тяжести движется с постоянным
ускорением g.
Финиш. В момент
f
t
происходит касание стола,
)(sin)(2
ff
tdty
α
=
,
вращение мгновенно прекращается и монета «ложится» на ту или иную
сторону в зависимости от значения угла поворота: при
(
)
22mod)(0
π
π
α
<<
f
t и
(
)
π
π
α
π
22mod)(23
<
<
f
t , выпадает «орел», а
при
(
)
232mod)(2
π
π
α
π
<<
f
t – «решка».
Задание единого оператора эволюции системы на всех этапах
движения – задача слишком сложная, поэтому мы ограничимся его
рассмотрением лишь на этапе полета, а на первом и последнем этапах
ограничимся качественными соображениями. Так, очевидно, что в фазовом
пространстве системы имеется множество аттракторов – точек равновесия
с координатами 0
=
==
ω
v
y ,
π
α
n
=
, ,...2,1,0
=
n , соответствующих
конечному положению монеты, лежащей на одной из сторон (на рис.2.15,а
для «орла» точка выделена черными кружками, а для «решки» – белыми).
Аттракторам соответствует разное число оборотов до момента падения. В
заштрихованных областях фазового пространства, соответствующих
финальной стадии и движению с малой начальной скоростью
0
v , в
соответствии с принятой содержательной моделью имеет место сильная
диссипация и изображающая точка попадает на один из аттракторов.
Границы бассейнов притяжения аттракторов можно определить из модели
движения на стадии полета. Получим ее аналогично [257] асимптотически
из системы дифференциальных уравнений Ньютона
aF ⋅
=
m и βM
⋅
=
I
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
