Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

q
lim
t→
(qP
t
) = q
∗
.
0, 1, ..., n.
ξ
t
t
P (ξ
t+1
= ξ
t
+ 1) = p, P (ξ
t+1
= ξ
t
− 1) = q, ξ
t
6= 0, n; ξ
t
= 0
ξ
t
= n, ξ
t+1
= ξ
t
n
ξ
t
, ,
π
k
(t) = P (ξ
t
= n|ξ
0
= k).
π
k
(t + 1) = P (ξ
t+1
= n|ξ
0
= k) =
= P (ξ
1
= k − 1|ξ
0
= k)P (ξ
t+1
= n|ξ
1
= k − 1)+
+P (ξ
1
= k + 1|ξ
0
= k)P (ξ
t+1
= n|ξ
0
= k + 1) =
= π
k−1
(t) · q + π
k+1
(t) · p.
t → ∞, lim
t→∞
π
k
(t) = π
k
,
π
k
= qπ
k−1
+ pπ
k+1
.
π
0
= 0, π
n
= 1. π
k
π
k
= λ
k
.
λ
k
= qλ
k−1
+ pλ
k+1
pλ
2
− λ + q = 0,
   Ñëåäñòâèå: Ïðè ëþáîì âåêòîðå q íà÷àëüíûõ âåðîÿòíîñòåé
                             lim(qP t ) = q ∗ .
                              t→

Ñëåäñòâèå èíòåðïðåòèðóåòñÿ òàê: åñëè öåïü Ìàðêîâà äîïóñêàåò âåê-
òîð ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, òî íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñèñòåìà â áåñêîíå÷íîñòè ïðèõîäèò ê ñòàöèî-
íàðíîìó ñîñòîÿíèþ.
    Çàäà÷à î ñëó÷àéíîì áëóæäàíèè. Ïóñòü íà ïðÿìîé ðàññìàò-
ðèâàþòñÿ òî÷êè ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè 0, 1, ..., n. Ïðåäïî-
ëàãàåì, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ýòèì òî÷êàì
íà ïðÿìîé, è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξt îïèñûâàåò ïîëîæåíèå ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè íà ïðÿìîé â ìîìåíò âðåìåíè t .  ñëåäóþùèé ìîìåíò
âðåìåíè ÷àñòèöà ìîæåò ïåðåéòè íà ñîñåäíèå òî÷êè ñ âåðîÿòíîñòÿìè:
P (ξt+1 = ξt + 1) = p, P (ξt+1 = ξt − 1) = q, ξt 6= 0, n; åñëè ξt = 0 èëè
ξt = n, òî ξt+1 = ξt (äâèæåíèå ÷àñòèöû ìåæäó ïîãëîùàþùèìè ñòåí-
êàìè). Çàäà÷ó î ñëó÷àéíîì áëóæäàíèè ÷àñòèöû ìîæíî èíòåðïðåòè-
ðîâàòü è êàê çàäà÷ó î ðàçîðåíèè èãðîêà. Ïóñòü n  ñóììà äåíåã ó
äâóõ èãðîêîâ, à ξt  ÷èñëî äåíåã ó ïåðâîãî èãðîêà. Ïóñòü ïðîâîäÿò-
ñÿ íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ, â êîòîðûõ ñîáûòèå ìîæåò ïðîèçîéòè
ñ âåðîÿòíîñòüþ , òîãäà, åñëè âûïàëî ñîáûòèå , òî ïåðâûé èãðîê îò
âòîðîãî ïîëó÷àåò ðóáëü, åñëè íå ïðîèñõîäèò, òî íàîáîðîò. Ââåäåì
πk (t) = P (ξt = n|ξ0 = k). Òîãäà

                   πk (t + 1) = P (ξt+1 = n|ξ0 = k) =

            = P (ξ1 = k − 1|ξ0 = k)P (ξt+1 = n|ξ1 = k − 1)+
            +P (ξ1 = k + 1|ξ0 = k)P (ξt+1 = n|ξ0 = k + 1) =
                       = πk−1 (t) · q + πk+1 (t) · p.
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî t → ∞, è îáîçíà÷àÿ lim πk (t) = πk , ïîëó÷àåì
                                           t→∞

                          πk = qπk−1 + pπk+1 .

Î÷åâèäíî π0 = 0, πn = 1. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ πk â âèäå πk = λk .
Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

               λk = qλk−1 + pλk+1 èëè pλ2 − λ + q = 0,

                                    106

Страницы