Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(t, t + h) λh + o(h), h → 0.
(t, t + h)
1 − λh + o(h).
t (t, t + h)
βh + o(h), h → 0.
P
k
(t)
t k − 1
(k ≥ 1; P
0
(t)
P
k
(t) lim
t→∞
P
k
(t) = π
k
Θ = α/β < 1.
π
0
= 1 − θ, π
k
= (1 − θ)θ
k
, k ≥ 1.
n
N
1, 2, ..., N. n
n
ω = (i
1
, i
2
, ..., i
k
), 1 ≤
i
k
≤ N, k = 1, ..., n Ω
n
= {ω}.
P (ω) = P (i
1
)P (i
2
|i
1
)P (i
3
|i
1
i
2
) ···P (i
k
|i
1
···i
k−1
),
N
X
i
s
=1
P (i
s
|i
1
···i
s−1
) = 1.
P (A) =
P
ω∈A
P (ω), A ⊂ Ω
n
,
(Ω, , P ) − n
P (i
s
) = P (i
s
|i
1
···ß
s−1
)
P (i
s
)
p
i
= P (i).
p
1
+ ··· + p
N
= 1, P (ω) = p
i
1
p
i
2
···p
i
n
.
   Çàäà÷à 3.19. Âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ íà òåëåôîííóþ ëèíèþ
îäíîãî âûçîâà çà âðåìÿ (t, t + h) ðàâíà λh + o(h), h → 0. Båðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî íè îäèí âûçîâ çà âðåìÿ (t, t + h) íå ïîñòóïèò, ðàâíà
1 − λh + o(h). Åñëè ëèíèÿ çàíÿòà, òî âûçîâû ñòàíîâÿòñÿ â î÷åðåäü.
Åñëè â ìîìåíò t åùå ïðîäîëæàåòñÿ ðàçãîâîð, òî çà âðåìÿ (t, t + h)
îí îêîí÷èòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ βh + o(h), h → 0. Âûçîâû ïîñòóïàþò
íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Îáîçíà÷èì Pk (t) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â
ìîìåíò t îäèí âûçîâ îáñëóæèâàåòñÿ è k − 1 âûçîâîâ îáðàçóþò î÷å-
ðåäü (k ≥ 1; P0 (t)  âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëèíèÿ ñâîáîäíà). Ñîñòà-
âèòü äëÿ Pk (t) äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Íàéòè lim Pk (t) = πk ,
                                                                        t→∞
åñëè Θ = α/β < 1.

                                     Îòâåò: π0 = 1 − θ, πk = (1 − θ)θk , k ≥ 1.

2.3 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n èñïûòà-
íèé. Ïóñòü èìååòñÿ îïûò ñ N íåñîâìåñòíûìè èñõîäàìè. Ýòè èñõîäû
íóìåðóþòñÿ ÷èñëàìè 1, 2, ..., N. Ïðîâåäåíî n èñïûòàíèé, â êàæäîì
èç êîòîðûõ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ îäèí èç ýòèõ èñõîäîâ. Ñåðèþ èç n èñ-
ïûòàíèé ìîæíî îïèñàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ω = (i1 , i2 , ..., ik ), 1 ≤
ik ≤ N, k = 1, ..., n. Ωn = {ω}.

          P (ω) = P (i1 )P (i2 |i1 )P (i3 |i1 i2 ) · · · P (ik |i1 · · · ik−1 ),
                            N
                            X
                                    P (is |i1 · · · is−1 ) = 1.
                            is =1
                 P
Åñëè P (A) =          P (ω), A ⊂ Ωn , òî ìû èìååì âåðîÿòíîñòíîå ïðî-
                ω∈A
ñòðàíñòâî (Ω, A, P ) − ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n èñïûòàíèé.
   Óïðîùàþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
   1) P (is ) = P (is |i1 · · · ßs−1 )  èñïûòàíèÿ íåçàâèñèìû;
   2) P (is ) íå çàâèñÿò îò íîìåðà èñïûòàíèÿ, ÷òî èíòåðïðåòèðóåòñÿ
êàê îäíîðîäíîñòü èñïûòàíèé. Îáîçíà÷èì pi = P (i).
Î÷åâèäíî p1 + · · · + pN = 1, P (ω) = pi1 pi2 · · · pin .


                                             25

Страницы