Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ln n! = ln
√
2πn + n ln n − n + O(
1
n
)
ln(1 + x) ≈ x −
x
2
2
.
m = np + x
m
√
npq = np
µ
1 + x
m
r
q
np
,
ln m = ln np + x
m
r
q
np
−
x
2
m
2
q
np
+ ··· .
ln m! :
ln m! ≈ ln
√
2π +
1
2
µ
ln np + x
m
r
q
np
−
x
2
m
2
q
np
+
+np
µ
1 + x
m
r
q
np
¶µ
ln np + x
m
r
q
np
−
x
2
m
2
q
np
−
−np − x
m
√
npq ≈
≈ ln
√
2π +
1
2
ln np + np ln np +
x
2
m
q
2
+ x
m
√
npq ln np −np.
ln(n − m)! ≈ ln
√
2π +
1
2
µ
ln nq −x
m
r
p
nq
−
x
2
m
2
r
p
nq
+
+(nq −x
m
√
npq)
µ
ln nq −x
m
r
p
nq
−
x
2
m
2
p
nq
− nq + x
m
√
npq ≈
≈ ln
√
2π +
1
2
ln nq + nq ln nq −x
m
√
npq ln nq +
x
2
m
p
2
− nq.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìåþò ìåñòî äîêàçûâàåìûå â ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå ôîðìóëà Ñòèðëèíãà
                           √                     1
                 ln n! = ln 2πn + n ln n − n + O( )
                                                 n
è ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

                                             x2
                         ln(1 + x) ≈ x −        .
                                             2
Ìîæíî íàïèñàòü
                                   µ       r ¶
                          √                  q
               m = np + xm npq = np 1 + xm     ,
                                            np
òîãäà                               r
                                         q  x2 q
                ln m = ln np + xm          − m    + ··· .
                                        np   2 np
Âû÷èñëÿåì ln m! :
                              µ           r             ¶
                     √      1                q    x2m q
           ln m! ≈ ln 2π +     ln np + xm       −        +
                            2               np     2 np
               µ       r ¶µ                r            ¶
                          q                   q   x2m q
           +np 1 + xm           ln np + xm      −         −
                         np                  np    2 np
                                     √
                         −np − xm npq ≈
         √      1                 x2 q        √
    ≈ ln 2π + ln np + np ln np + m + xm npq ln np − np.
                2                   2
  Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âû÷èñëÿåì
                            µ            r           r ¶
                    √     1                 p    x2m   p
     ln(n − m)! ≈ ln 2π +    ln nq − xm        −           +
                          2                 nq    2    nq
                  µ          r               ¶
            √                   p     x2m p              √
  +(nq − xm npq) ln nq − xm        −           − nq + xm npq ≈
                               nq      2 nq
            √    1                     √           x2 p
        ≈ ln 2π + ln nq + nq ln nq − xm npq ln nq + m − nq.
                 2                                  2

                                    27

Страницы