Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

N = 2,
N > 2
N = 2.
{A,
¯
A}
m n
P
n
(m) n
m P
n
(m) = C
m
n
p
m
(1 − p)
n−m
P (ω) = P (AA ···A
| {z }
m
¯
A
¯
A ···
¯
A
| {z }
n−m
) = p
m
q
n−m
ω C
m
n
.
ξ
i
n i
P (ξ
1
= m
1
, ξ
2
= m
2
, ..., ξ
N
= m
N
) =
n!
m
1
!m
2
! ···m
N
!
p
m
1
1
p
m
2
2
···p
m
N
N
.
n → ∞, p → 0,
np → λ > 0, P
n
(m) → p
m
(λ) =
λ
m
m!
e
−λ
.
C
m
n
p
m
q
n−m
=
n(n − 1) ···(n − m + 1)
m!
p
m
(1 − p)
n−m
=
=
n(n − 1) ···(n − m + 1)
n
m
·
1
m!
· (np)
m
·
"
µ
1 −
np
n
−
n
np
#
−
np
n
(n−m)
→
→
1
m!
(λ)
m
e
−λ
.
P
n
(m) = C
m
n
p
m
q
n−m
n, m → ∞ x
m
=
m−np
√
npq
a b a ≤ x
m
≤ b,
P
n
(m)
(2πnpq)
−
1
2
e
−
x
2
m
2
→ 1 n → ∞.
    Åñëè N = 2, òî ãîâîðÿò, ÷òî èñïûòàíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ ñõåìå Áåð-
íóëëè, N > 2  ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìå.
    Ñõåìà Áåðíóëëè. N = 2. Äâà èñõîäà, êîòîðûå îáîçíà÷àþò êàê:
1,2 èëè óñïåõ, íåóñïåõ, èëè âûèãðûø, ïðîèãðûø, èëè {A, Ā}. Ïóñòü
m  ÷èñëî óñïåõîâ ïðè n èñïûòàíèÿõ
    Òåîðåìà. Âåðîÿòíîñòü Pn (m) òîãî, ÷òî ïðè n èñïûòàíèÿõ ïðî-
èçîøëî m óñïåõîâ, ðàâíà Pn (m) = Cnm pm (1 − p)n−m .
    Äîêàçàòåëüñòâî. P (ω) = P (AA  · · · A} Ā
                                | {z             · · · Ā}) = pm q n−m , è ÷èñ-
                                            | Ā{z
                                              m      n−m
ëî ñîáûòèé ω ñ òàêîé âåðîÿòíîñòüþ åñòü Cnm .
   Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà. Ïóñòü ξi  ÷èñëî ñëó÷àåâ, êîãäà ïðè
n èñïûòàíèÿõ ïðîèçîøëî ñîáûòèå ñ íîìåðîì i. Òîãäà
                                                    n!                         mN
 P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 , ..., ξN = mN ) =                          pm1 m2
                                                                   1 p2 · · · pN .
                                              m1 !m2 ! · · · mN !
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.
   Òåîðåìà Ïóàññîíà. Ïóñòü â ñõåìå Áåðíóëëè: n → ∞, p → 0,
                                         m
íî np → λ > 0, òîãäà Pn (m) → pm (λ) = λm! e−λ .
   Äîêàçàòåëüñòâî.
                        n(n − 1) · · · (n − m + 1) m
        Cnm pm q n−m =                            p (1 − p)n−m =
                                    m!
                                             "µ       ¶ n #− np (n−m)
  n(n − 1) · · · (n − m + 1) 1            m        np − np    n

=                            ·     · (np) ·     1−                    →
              nm               m!                   n
                                   1
                               →      (λ)m e−λ .
                                   m!
   Ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà- Ëàïëàñà. Ïóñòü
â ôîðìóëå Áåðíóëëè Pn (m) = Cnm pm q n−m äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî
n, m → ∞ òàê, ÷òî âåëè÷èíà xm = m−np  √
                                        npq ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà:
ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ÷èñëà a è b, òàêèå, ÷òî a ≤ xm ≤ b, òîãäà
                         Pn (m)
                                    x2
                                         → 1 ïðè n → ∞.
                               1     m
                    (2πnpq)− 2 e−    2




                                         26

Страницы