Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
n
(m) P
n
(m) =
n!
m!(n−m)!
p
m
q
n−m
,
ln P
n
(m) = −ln
p
2πnpq −
x
2
m
2
+ ··· ,
P
n
(m) ≈
1
√
2πnpq
e
−
x
2
m
2
.
lim
n→∞
P (a < x
m
< b) =
1
√
2π
b
Z
a
e
−
u
2
2
du = Φ(b) − Φ(a),
Φ(x) =
x
R
0
e
−
u
2
2
du.
Φ(x)
A
B,
p = 6/30 = 1/5, q = 4/5.
n = 2500,
√
npq = 20. k
m
P (m ≥ k) = P
µ
x
m
≥ a =
k − np
√
npq
≈
1
2π
∞
Z
a
e
−
x
2
2
dx =
1
2
−Φ(a) ≤ 0.01,
                                                         n!     m n−m ,
Ïðåäñòàâëÿÿ Pn (m) â âèäå Pn (m) =                    m!(n−m)! p q           ïðèõîäèì ê
ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó:
                                          p                    x2m
                       ln Pn (m) = − ln     2πnpq −                + ··· ,
                                                                2
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                                             1      x2
                                                     m
                                  Pn (m) ≈ √      e− 2 .
                                            2πnpq
   Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà. Ïðè
îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåé òåîðåìû èìååò ìåñòî
                                                Zb
                                          1               u2
        lim P (a < xm             < b) = √           e−    2   du = Φ(b) − Φ(a),
        n→∞                               2π
                                                a

             Rx        u2
ãäå Φ(x) =        e−    2   du.
             0
    Ôóíêöèÿ Φ(x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàïëàñà, â ñïðàâî÷íèêàõ è
ó÷åáíèêàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòè ìîæíî íàéòè òàáëèöû çíà÷åíèé
ýòîé ôóíêöèè.
    Òåîðåìó ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, â áóäóùåì ìû ïîëó÷èì åå
êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé áîëåå îáùåé öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.
    Ïðèìåð. Â ïîñåëêå A 2500 æèòåëåé. Êàæäûé èç íèõ ïðèìåðíî
6 ðàç â ìåñÿö åçäèò íà ïîåçäå â ãîðîä B, âûáèðàÿ äíè ïîåçäîê ïî
ñëó÷àéíûì ìîòèâàì, íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ æèòåëåé. Êàêîé íàè-
ìåíüøåé âìåñòèòåëüíîñòüþ äîëæåí îáëàäàòü ïîåçä, ÷òîáû îí ïåðå-
ïîëíÿëñÿ â ñðåäíåì íå ÷àùå îäíîãî ðàçà â 100 äíåé. Ïîåçä èäåò ðàç
â ñóòêè.
    Ðåøåíèå. Ïîåçäêó æèòåëÿ íàçîâåì óñïåõîì è âåðîÿòíîñòü óñïå-
õà ðàâíà p = 6/30 = 1/5, à âåðîÿòíîñòü íåóñïåõà ðàâíà q = 4/5.
                                      √
×èñëî èñïûòàíèé åñòü n = 2500, òîãäà npq = 20. Ïóñòü k  íàè-
ìåíüøàÿ âìåñòèìîñòü ïîåçäà, m  ÷èñëî ïàññàæèðîâ. Òîãäà
             µ                ¶      Z∞
                       k − np      1      x2     1
P (m ≥ k) = P xm ≥ a = √        ≈       e− 2 dx = − Φ(a) ≤ 0.01,
                         npq      2π             2
                                                       a


                                           28

Страницы