Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
P =
2
6
+
4
6
·
3
5
·
2
4
+
4
6
·
3
5
·
2
4
·
1
3
·
2
2
=
3
5
.
P (A) = p = 0.01, q = 0.99.
) P
5
(0) = C
0
5
p
0
q
5
= 0.99
5
= 0.951;
) P
5
(1) = C
1
5
p
1
q
4
= 5 · 0.01 0.99
4
≈ 0.048;
) P
5
(m ≥ 2) = 1 − P
5
(0) − P
5
(1) ≈ 0.001.
p = 0.001, n = 5000.
λ = p · n = 5.
P
n
(0) ≈ e
−λ
, P
n
(1) = λ · e
−λ
, P
n
(m ≥ 2) = 1 − P
n
(0) − P
n
(1) ≈
≈ 1 − (1 + λ)e
−λ
= 1 − 6e
−λ
≈ 1 − 0.04043 = 0.95957.
n
∆ = 0.1
p = 0.5. |
m
n
− p| < ∆ → |
m−np
√
npq
| < ∆ ·
q
n
pq
,
P (|
m
n
− p| < ∆) ≈
1
√
2π
∆·
n
pq
Z
−∆·
n
pq
e
−
t
2
2
dt = 2Φ(∆ ·
r
n
pq
) = 0.9.
××××Á. Âåðîÿòíîñòü P âûèãðûøà ïåðâûì èãðîêîì ðàâíà:
                       2 4 3 2 4 3 2 1 2 3
                 P =    + · · + · · · · = .
                       6 6 5 4 6 5 4 3 2 5
   Çàäà÷à 4.5. Ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèÿ âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ îä-
íîãî çíàêà ðàâíà 1/100. Â ïðåäïîëîæåíèè íåçàâèñèìîñòè èñêàæåíèé
çíàêîâ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîîáùåíèå èç 5 çíàêîâ: à) íå áó-
äåò èñêàæåíî; á) ñîäåðæèò ðîâíî îäíî èñêàæåíèå; â) ñîäåðæèò õîòÿ
áû äâà èñêàæåíèÿ.
   Ðåøåíèå. Ïóñòü À îáîçíà÷àåò ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî
ïðîèçîøëî èñêàæåíèå. P (A) = p = 0.01, q = 0.99.

                à) P5 (0) = C50 p0 q 5 = 0.995 = 0.951;
                á) P5 (1) = C51 p1 q 4 = 5 · 0.01 0.994 ≈ 0.048;
                â) P5 (m ≥ 2) = 1 − P5 (0) − P5 (1) ≈ 0.001.

   Çàäà÷à 4.19. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè êàæäîì âûñòðå-
ëå ðàâíà 0.001. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü äâóìÿ è áîëåå
âûñòðåëàìè ïðè çàëïå â 5000 âûñòðåëîâ.
   Ðåøåíèå. p = 0.001, n = 5000. Ïðèìåíÿåì ïðåäåëüíóþ òåîðåìó
Ïóàññîíà. λ = p · n = 5.

  Pn (0) ≈ e−λ , Pn (1) = λ · e−λ , Pn (m ≥ 2) = 1 − Pn (0) − Pn (1) ≈

           ≈ 1 − (1 + λ)e−λ = 1 − 6e−λ ≈ 1 − 0.04043 = 0.95957.
   Çàäà÷à 4.27. Èñïîëüçóÿ òàáëèöó ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, âûïèñàòü ðå-
àëèçàöèþ áðîñàíèé ñèììåòðè÷åñêîé ìîíåòû. Äëèíó ðåàëèçàöèè n
ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû ÷àñòîòà âûïàäåíèé ãåðáà îòëè÷àëàñü îò 1/2
íå áîëåå ÷åì íà ∆ = 0.1, ñ âåðîÿòíîñòüþ, ïðèìåðíî ðàâíîé 0.9. Ïî
ðåàëèçàöèè âû÷èñëèòü ÷àñòîòó âûïàäåíèÿ ãåðáà. q
   Ðåøåíèå. p = 0.5. | m              m−np
                       n − p| < ∆ → | npq | < ∆ ·
                                      √            n
                                                  pq ,

                                    q
                                      n
                                  ∆· pq
                                   Z                           r
           m              1                   t2                   n
    P (|     − p| < ∆) ≈ √                  e− 2 dt = 2Φ(∆ ·          ) = 0.9.
           n              2π       q
                                                                   pq
                                     n
                                −∆· pq


                                       30

Страницы