Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ = 0.7,
λ
λt
t t
k
(λt)
k
k!
e
−λt
.
p
1
2
.
n = 4040 2048
n = 4040
p. m n
P
n
(m) = C
m
n
p
m
(1 −p)
n−m
.
m
n
−p
m
n
− p = x
m
q
p(1−p)
n
, x
m
=
m−np
√
p(1−p)n
.
a b
n
X
a≤x
m
≤b
P
n
(m) =
X
m
P (a ≤ x
m
≤ b) ≈
1
√
2π
b
Z
a
e
−
x
2
2
dx.
èñõîäîâ ïîä÷èíÿëîñü ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ = 0.7,
òî ìîæíî áûëî áû îæèäàòü, ÷òî ïðè 280 íàáëþäåíèÿõ â 139 ñëó÷àÿõ
ñìåðòåé íåò, â 97 ñëó÷àÿõ  1 ñìåðòü, â 34 ñëó÷àÿõ  2 ñìåðòè è ò.
ä. Â äåéñòâèòåëüíîñòè äàííûå áûëè ñîîòâåòñòâåííî 140, 91, 32 è ò.
ä. Ïðàêòèêà è òåîðèÿ îêàçàëèñü â ñòîëü õîðîøåì ñîãëàñèè, ÷òî âðÿä
ëè ìîæíî áûëî îæèäàòü áîëüøåãî.
    Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà íàõîäèò ïðèìåíåíèå â îïèñàíèè ìíîãèõ
ÿâëåíèé. Íàïðèìåð, åñëè λ åñòü ñðåäíåå ÷èñëî çâîíêîâ â ìèíóòó íà
ãîðîäñêóþ òåëåôîííóþ ñòàíöèþ, òî λt áóäåò ñðåäíèì ÷èñëîì çâîíêîâ
çà t ìèíóò, òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿ t íà òåëåôîííóþ
                                          k
ñòàíöèþ ïîñòóïèëî k çâîíêîâ, ðàâíà (λt) k! e
                                             −λt .

    Â èòîãå ïðåäìåò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî îïðåäåëèòü òàê:
òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìàåòñÿ âû÷èñëåíèåì âåðîÿòíîñòåé
ñëîæíûõ ñîáûòèé.
    ×åì çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà? Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî
ïðè áðîñàíèè ìîíåòû âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ ãåðáà ðàâíà 21 . Íî
ýòî ïðåäïîëîæåíèå îñíîâàíî íà òåîðåòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ. Áþô-
ôîí ïðîâîäèë îïûòû ñ áðîñàíèåì ìîíåòû. Ìîíåòà áûëà áðîøåíà
n = 4040 ðàç, èç íèõ â 2048 ñëó÷àÿõ âûïàë ãåðá. Ñïðàøèâàåòñÿ, êà-
êîå çàêëþ÷åíèå ìîæíî ñäåëàòü î âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà ïðè
áðîñàíèè ìîíåòû? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
íàõîäèò, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìû èìååì áîëüøîå ÷èñëî
n = 4040 èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ
ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùåãî â òîì, ÷òî âûïàë ãåðá, íåèçâåñòíà. Îáîçíà÷èì
åå p. Ìû óæå îòìåòèëè, ÷òî âåðîÿòíîñòü m óñïåõîâ ïðè n èñïûòà-
íèÿõ ðàâíà Pn (m) = Cnm pm (1 − p)n−m . Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü m
                                                            n −p è
                                  q
                                    p(1−p)
ïðåäñòàâèì åå â âèäå mn − p = xm       n , ãäå xm =
                                                    √m−np . Ïóñòü
                                                               p(1−p)n
a è b  äàííûå ÷èñëà.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
ïðè áîëüøèõ n ïðèáëèæåííî èìååò ìåñòî:

         X                  X                            Zb
                                                    1              x2
                 Pn (m) =       P (a ≤ xm   ≤ b) ≈ √          e−    2   dx.
       a≤xm ≤b              m                       2π
                                                         a




                                     4

Страницы