Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

η
ν
n → ∞ a
ν
ξ
Mξ = 0 · q + 1 ·p = p = α
1
, a
1
=
¯
X =
X
k
n
→
2048
4040
.
m
2
=
n
k=1
(
X
k
−
¯
X
)
2
n
.
Mm
2
. Y
k
= X
k
− MX
k
= X
k
− Mξ, MY
k
=
MX
k
− M M X
k
= MX
k
− M X
k
= 0, DY
k
= DX
k
= Dξ = µ
2
.
¯
Y =
n
k=1
Y
k
n
X
k
−
¯
X = Y
k
+ Mξ −
n
k=1
(Y
k
+Mξ)
n
= Y
k
−
¯
Y ,
m
2
=
n
P
k=1
(Y
k
−
¯
Y )
2
n
=
1
n
n
X
k=1
(Y
2
k
−2
¯
Y Y
k
+
¯
Y
2
) =
1
n
n
X
k=1
Y
2
k
−2
¯
Y
2
+
¯
Y
2
=
=
1
n
n
X
k=1
Y
2
k
−
¯
Y
2
.
M
¯
Y
2
M
¯
Y
2
= M
µ
n
P
k=1
Y
k
n
2
=
1
n
2
n
X
k,l=1
M(Y
k
Y
l
) =
1
n
2
n
X
k=1
M(Y
k
Y
k
) =
µ
2
n
,
Y
k
Y
l
M(Y
k
Y
l
) = MY
k
MY
l
= 0,
k 6= l. Mm
2
.
Mm
2
=
1
n
n
X
k=1
MY
2
k
−
µ
2
n
= µ
2
(1 −
1
n
).
Dm
2
Dm
2
=
µ
4
− µ
2
2
n
− 2
µ
4
− 2µ
2
2
n
2
+
µ
4
− 3µ
2
2
n
3
.
îòêóäà âèäíî, ÷òî ην îáëàäàåò ñòðóêòóðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â
àðãóìåíòå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû, ïîýòîìó îíà â ïðåäåëå
n → ∞ àñèìïòîòè÷åñêè ñòàíäàðòíî íîðìàëüíà, çíà÷èò aν àñèìïòî-
òè÷åñêè íîðìàëåí.
   Ïðèìåð. Îïûò Áþôôîíà. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðåä-
ñòàâëÿþùåé ñëó÷àéíîå ÷èñëî óñïåõîâ ïðè îäíîêðàòíîì   P ïðîèçâîäñòâå
îïûòà, èìååì M ξ = 0 · q + 1 · p = p = α1 , a1 = X̄ = nXk → 2048
                                                            4040 .
   Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ öåíòðàëüíîãî ìî-
                                                  P
                                                  n
                                                      (Xk −X̄)2
ìåíòà 2-ãî ïîðÿäêà Ïî îïðåäåëåíèþ m2 =          . Âû÷èñëèì
                                                  k=1
                                                          n
M m2 . Ïîëîæèì Yk = Xk − M Xk = Xk − M ξ, î÷åâèäíî M Yk =
M Xk − M M Xk = M Xk − M Xk = 0, DYk = DXk = Dξ = µ2 . Îïðå-
             P
             n                                      P
                                                    n
                  Yk                                    (Yk +M ξ)
äåëèì Ȳ = n . Òàê êàê Xk − X̄ = Yk + M ξ −
            k=1                                     k=1
                                                       n      = Yk − Ȳ ,
òî
      P
      n
         (Yk − Ȳ )2     n                           n
                       1X 2                        1X 2
m2 = k=1             =     (Yk − 2Ȳ Yk + Ȳ 2 ) =     Yk − 2Ȳ 2 + Ȳ 2 =
           n           n                           n
                           k=1                        k=1
                                n
                              1X 2
                            =     Yk − Ȳ 2 .
                              n
                                   k=1
Âû÷èñëèì M Ȳ     2:

             Pn
           µ     Yk ¶2     n                n
                         1 X              1 X              µ2
 M Ȳ 2 = M k=1        = 2   M (Yk Yl ) = 2   M (Yk Yk ) =    ,
                n       n                n                 n
                                  k,l=1            k=1

òàê êàê Yk è Yl íåçàâèñèìû, ïîýòîìó M (Yk Yl ) = M Yk M Yl = 0, åñëè
k 6= l. Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê âû÷èñëåíèþ M m2 .
                             n
                           1X         µ2          1
                  M m2 =      M Yk2 −    = µ2 (1 − ).
                           n          n           n
                            k=1
Íåñêîëüêî áîëåå ãðîìîçäêèå âû÷èñëåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó
çíà÷åíèþ Dm2 :
                         µ4 − µ22    µ4 − 2µ22 µ4 − 3µ22
                 Dm2 =            −2          +          .
                            n           n2        n3

                                          72

Страницы