Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
∂ ln L
∂θ
= 0 θ
∗
,
θ.
X
1
, ..., X
n
(X
k
= m) =
λ
m
m!
e
−λ
, m = 0, 1, . . .
λ
∗
λ.
Mλ
∗
, Dλ
∗
.
L =
λ
X
1
X
1
!
e
−λ
λ
X
2
X
2
!
e
−λ
···
λ
X
n
X
n
!
e
−λ
=
λ
n
i=1
X
i
n
Q
k=1
X
k
!
e
−nλ
,
ln L = −nλ +
n
X
i=1
X
i
ln λ −
n
X
i=1
ln(X
i
!),
∂ ln L
∂λ
= −n +
1
λ
n
X
i=1
X
i
= 0,
λ
∗
=
n
P
i=1
X
i
n
.
Mλ
∗
=
n
i=1
MX
i
n
= λ, λ
∗
Dλ
∗
=
1
n
2
nDξ =
λ
n
.
P (|λ
∗
− λ| ≥ ²) ≤
Dλ
∗
²
2
→ 0 n → ∞, λ
∗
L = p
x
1
q
1−x
1
···p
x
n
q
1−x
n
=
n
P
k=1
p
x
k
q
1−x
k
.
ln L =
P
x
k
ln p+(n−
P
x
k
) ln(1−p).
x
k
p
−
n− x
k
1−p
= 0,
P
x
k
−np = 0.
p
∗
=
x
k
n
→
2048
4040
.
ξ
α
ν
= Mξ
ν
− ν, µ
ν
= M(ξ −Mξ)
ν
− ν. α
1
= Mξ −
µ
1
= 0, µ
2
= Dξ.
Îêàçûâàåòñÿ, ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ óñëîâèÿõ íà ñëó÷àéíóþ âåëè-
÷èíó ξ óðàâíåíèå ∂ ∂θ ln L
                           = 0 èìååò ðåøåíèå θ∗ , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò
ñîñòîÿòåëüíóþ, àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ.
   Ïðèìåð. Èñïîëüçóÿ ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ, íàéòè
                                           m
ïî âûáîðêå X1 , ..., Xn , ãäå (Xk = m) = λm! e−λ , m = 0, 1, . . ., îöåíêó
λ∗ ïàðàìåòðà λ. Áóäåò ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé?
Íàéòè M λ∗ , Dλ∗ .
                                                                              P
                                                                              n
                                                                                    Xi
                      λX1        −λ   λX2        −λ         λXn        −λ     λ
                                                                              i=1
               L=            e               e        ···          e        = n           e−nλ ,
                      X1 !            X2 !                  Xn !              Q
                                                                                   Xk !
                                                                             k=1

                      n
                      X                      n
                                             X                                                     n
                                                                ∂ ln L        1X
 ln L = −nλ +               Xi ln λ −                 ln(Xi !),        = −n +    Xi = 0,
                                                                 ∂λ           λ
                      i=1                    i=1                                               i=1
                                                            P
                                                            n
                                                                  Xi
                                                  ∗         i=1
                                             λ =                       .
                                                              n
           P
           n
               M Xi
M λ∗ = i=1 n     = λ, λ∗  íåñìåùåííàÿ îöåíêà. Dλ∗ = n12 nDξ = nλ .
                       ∗
P (|λ∗ − λ| ≥ ²) ≤ Dλ
                    ²2
                         → 0 ïðè n → ∞, ïîýòîìó λ∗  ñîñòîÿòåëüíàÿ
îöåíêà.
                                                          P
                                                          n
    Ïðèìåð.Îïûò Áþôôîíà.L = px1 q 1−x1 · · · pxn q 1−xn =    pxk q 1−xk .
       P                P            P       P          Pk=1
ln L = xk ln p+(n− xk ) ln(1−p). pxk − n−1−pxk = 0, xk −np = 0.
       P
        xk       2048
p∗ =   n     →   4040 .


3.3 Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû
Ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìîæíî îïðåäåëèòü òàê íàçûâàåìûå òåîðåòè-
÷åñêèå ìîìåíòû: αν = M ξ ν − ìîìåíòû ïîðÿäêà ν, µν = M (ξ − M ξ)ν
− öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ïîðÿäêà ν.  ÷àñòíîñòè α1 = M ξ − ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, µ1 = 0, µ2 = Dξ. Òåîðåòè÷åñêèì ìîìåíòàì




                                                        70

Страницы