Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Mθ
∗
n
(X
1
, ..., X
n
) = θ,
θ
∗
n
P
−→
n→∞
θ,
n
(η
n
− A
n
)/B
n
n → ∞
1
√
2π
x
R
−∞
exp(−
u
2
2
)du, η
n
n → ∞ (A
n
, B
2
n
).
ξ θ, p(x, θ),
X = (X
1
, X
2
, ..., X
n
)
L :
L = L(X
1
, X
2
, ..., X
n
, θ) = p(X
1
, θ)p(X
2
, θ) ···p(X
n
, θ).
ξ p
x
(θ) = P (ξ = x), L
L = p
X
1
(θ)p
X
2
(θ) ···p
X
n
(θ).
θ
∗
θ
L(X
1
, X
2
, ..., X
n
, θ). θ
∗
∂L
∂θ
= 0
∂ ln L
∂θ
= 0.
   Òðåáîâàíèÿ íà îöåíêó:
   1) Íåñìåùåííîñòü. Åñëè M θn∗ (X1 , ..., Xn ) = θ, òî îöåíêà íàçûâà-
åòñÿ íåñìåùåííîé. Òðåáîâàíèå íåñìåùåííîñòè îöåíêè îçíà÷àåò, ÷òî
ïî êðàéíåé ìåðå â ñðåäíåì èñïîëüçóåìàÿ îöåíêà ïðèâîäèò ê æåëà-
åìîìó ðåçóëüòàòó.
                P
   2) Åñëè θn∗ −→ θ, òî îöåíêà íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé. Åñëè îöåí-
               n→∞
êà ñîñòîÿòåëüíà, òî ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ n âûáîðêè ðàñïðåäåëå-
íèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà äîëæíî êîíöåíòðèðîâàòüñÿ îêîëî èñòèííîãî
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà.
   3) Ñðåäè âñåõ îöåíîê íóæíî âûáèðàòü òó, äëÿ êîòîðîé äèñïåðñèÿ
íàèìåíüøàÿ.
   Èíîãäà ïîñòðîåííûå îöåíêè îáëàäàþò ñâîéñòâîì àñèìïòîòè÷å-
ñêîé íîðìàëüíîñòè. Åñëè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ηn − An )/Bn ñõîäÿòñÿ ïðè n → ∞ ê ôóíê-
         Rx         2
öèè √12π    exp(− u2 )du, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ηn ïðè
        −∞
n → ∞ àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (An , Bn2 ).
   Ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îöå-
íîê ïàðàìåòðîâ. Åñëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò ïàðàìåòð θ, ò.å. îíà èìååò âèä p(x, θ), òî
äëÿ âûáîðêè X = (X1 , X2 , ..., Xn ) ââîäÿò òàê íàçûâàåìóþ ôóíêöèþ
ïðàâäîïîäîáèÿ L :

        L = L(X1 , X2 , ..., Xn , θ) = p(X1 , θ)p(X2 , θ) · · · p(Xn , θ).

Åñëè ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è px (θ) = P (ξ = x), òî L
îïðåäåëÿåòñÿ êàê

                        L = pX1 (θ)pX2 (θ) · · · pXn (θ).

 êà÷åñòâå îöåíêè θ∗ ïàðàìåòðà θ áåðåòñÿ òî åãî çíà÷åíèå, íà êî-
òîðîì äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ
L(X1 , X2 , ..., Xn , θ). Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà θ∗ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
óðàâíåíèþ
                             ∂L         ∂ ln L
                                = 0 èëè        = 0.
                             ∂θ           ∂θ


                                       69

Страницы