Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x), (X
k
< x) p µ
n
(x)
F
∗
n
(x) −
µ
n
(x)
n
P
→p, n → ∞,
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
X = (X
1
, X
2
, ..., X
n
) F
∗
n
(x)
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
(1)
≤ x
(2)
≤ ··· ≤ x
(n)
.
F
∗
n
(x)
F
∗
n
(x) =
0, x ≤ x
(1)
1
n
, x
(1)
< x ≤ x
(2)
2
n
, x
(2)
< x ≤ x
(3)
···
n−1
n
, x
(n−1)
< x ≤ x
(n)
1, x
(n)
< x.
˜x
1
= x
(1)
, ˜x
2
, ˜x
m
= x
(n)
,
k
1
, k
2
, k
m
(k
1
+ k
2
+ ···+ k
m
= n), F
∗
n
(x)
F
∗
n
(x) =
0, x ≤ ˜x
1
k
1
n
, ˜x
1
< x ≤ ˜x
2
k
1
+k
2
n
, ˜x
2
≤ x < ˜x
3
···
n−k
m
n
, ˜x
(m−1)
≤ x < ˜x
(m)
1, ˜x
(m)
≤ x.
n = 4040
m = 2048
x), ò.å. (Xk < x)  óñïåõ, à p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà, µn (x)  ÷èñëî
óñïåõîâ, òîãäà Fn∗ (x) − ÷àñòîòà óñïåõà, à ïî òåîðåìå Áåðíóëëè,

                       µn (x) P
                              → p, åñëè n → ∞,
                         n
ïîýòîìó íàøà òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïðè çàäàíèè ðåàëèçàöèè x = (x1 , x2 , ..., xn ) âûáîðêè
X = (X1 , X2 , ..., Xn ) ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (x)
ñòàíîâèòñÿ îáû÷íîé ôóíêöèåé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ýëå-
ìåíòû ðåàëèçàöèè x = (x1 , x2 , ..., xn ) ðàñïîëîæèì â ïîðÿäêå âîçðàñ-
òàíèÿ: x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n) . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ
âàðèàöèîííûì ðÿäîì. Åñëè ÷ëåíû âàðèàöèîííîãî ðÿäà ðàçëè÷íû, òî
ðåàëèçàöèÿ Fn∗ (x) èìååò âèä:
                             
                             
                              0, x ≤ x(1)
                             
                              1
                             
                             
                              n , x(1) < x ≤ x(2)
                              2
                   Fn∗ (x) =   n , x(2) < x ≤ x(3)
                             
                              ···
                             
                             
                             
                              n−1
                                    , x(n−1) < x ≤ x(n)
                             
                              n
                               1, x(n) < x.

Åñëè íåêîòîðûå ÷ëåíû âàðèàöèîííîãî ðÿäà ñîâïàäàþò, òî ðàçëè÷íûå
çíà÷åíèÿ ýòèõ ÷ëåíîâ îáîçíà÷èì x̃1 = x(1) , x̃2 ,...,x̃m = x(n) , è ïóñòü
ýòè çíà÷åíèÿ â âàðèàöèîííîì ðÿäó ïîâòîðÿþòñÿ k1 , k2 ,...,km ðàç ñî-
îòâåòñòâåííî (k1 + k2 + · · · + km = n), òîãäà ðåàëèçàöèÿ Fn∗ (x) èìååò
âèä:                     
                         
                             0, x ≤ x̃1
                         
                             k
                          n1 , x̃1 < x ≤ x̃2
                         
                         
                          k1 +k2
               Fn∗ (x) =        n , x̃2 ≤ x < x̃3
                         
                             ···
                         
                         
                         
                             n−km
                                    , x̃(m−1) ≤ x < x̃(m)
                         
                          n
                              1, x̃(m) ≤ x.
   Ïðèìåð. Îïûò Áþôôîíà. Áþôôîí n = 4040 ðàç áðîñàë ìîíåòó,
ïðè ýòîì ãåðá âûïàë m = 2048 ðàç. Â ðåàëèçàöèè


                                   67

Страницы