Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
n.
x
1
, x
2
, ..., x
n
.
k
X
k
, ξ.
X = (X
1
, X
2
, . . . , X
n
)
ξ,
X
1
, X
2
, ..., X
n
X
k
− n x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
(X
k
< x),
k ξ
x µ
n
(x). µ
n
= |k : X
k
< x|
x. F
∗
n
(x) =
µ
n
(x)
n
.
(ξ < x),
F
∗
n
(x)
P
→F (x), n → ∞.
∀x ∈ (−∞, ∞) p = P (ξ < x) = P (X
k
<
3 ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀ-
  ÒÈÑÒÈÊÈ
3.1    Ïîíÿòèå âûáîðêè. Âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü ξ  íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, è ïðîâîäèòñÿ ýêñïåðèìåíò,
â êîòîðîì îñóùåñòâëÿþòñÿ ïîâòîðíûå íåçàâèñèìûå íàáëþäåíèÿ íàä
ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ïóñòü ýòèõ íàáëþäåíèé (èñïûòàíèé) n.
Ïîÿâëÿþùèåñÿ ïðè èñïûòàíèÿõ ÷èñëà îáîçíà÷èì x1 , x2 , ..., xn . Óäîá-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî k -îå èñïûòàíèå îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
Xk , ïîä÷èíåííîé òîìó æå çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî è ξ. Âåêòîð
X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ
ïî òîìó æå çàêîíó, ÷òî è íàáëþäàåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ, ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , ..., Xn íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêîé, Xk
− ýëåìåíòîì âûáîðêè, n  îáúåìîì âûáîðêè, x = (x1 , x2 , ..., xn ) 
ðåàëèçàöèåé âûáîðêè.
    Ðàññìîòðèì ñîáûòèå (Xk < x), çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî âî âðå-
ìÿ k -ãî èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå
x. ×èñëî òàêèõ ñëó÷àåâ îáîçíà÷èì µn (x). Çíà÷èò, µn = |k : Xk < x| 
÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ìåíüøèõ x. Îáîçíà÷èì Fn∗ (x) = µnn(x) . Ýòî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ÷àñòîòó ñîáûòèÿ (ξ < x), íà-
çûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì èëè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ.
    Òåîðåìà:
                                P
                        Fn∗ (x) → F (x), åñëè n → ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ ∀x ∈ (−∞, ∞) p = P (ξ < x) = P (Xk <


                                 66

Страницы