Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Mξ
2
k
= Dξ
k
=
α
R
−α
x
2
1
2α
dx =
α
2
3
. M η = 0, Dη =
nα
2
3
, ζ =
η
√
Dη
=
η
√
3
100α
(|ζ| < A) = 2Φ(A) = 0.99, A =
Φ
−1
(0.495) = 2.58. |η| <
100α·2.58
√
3
.
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
P (ξ
k
= 1) = 1 −P (ξ
k
= 0) = p
k
(n); k = 1, 2, ... lim
n→∞
P (ξ
1
+
ξ
2
+ ···+ ξ
n
= m), p
1
(n) + ···+ p
n
(n) → λ max
1≤k≤n
p
k
(n) → 0
n → ∞.
f
ξ
k
(t) = e
itξ
k
= e
it
p
k
(n) + 1 −p
k
(n) = 1 + (e
it
−1)p
k
(n),
f
ξ
k
(t) =
n
Q
k=1
µ
1 + (e
it
− 1)p
k
(n)
, ln f
ξ
k
(t) =
n
P
k=1
ln
µ
1 + (e
it
−
1)p
k
(n)
≈
n
P
k=1
µ
(e
it
−1)p
k
(n) + ···
→ (e
it
−1)λ, f
ξ
k
(t) → e
λ(e
it
−1)
,
ξ
1
+ξ
2
+···+ξ
n
D A
P (D) ≈ 0.1051.
[−1, 1]
(pe
it
+ q)
n
; sin t/t.
cos
2
t.
P (ξ = 2) = P (ξ = −2) = 1/4, P (ξ = 0) = 1/2.
                   Rα                                                              √
                            1        α2                    nα2          √η        η 3
M ξk2 = Dξk =           x2 2α dx =   3 .   M η = 0, Dη =    3 ,   ζ =    Dη
                                                                              =   100α
                −α
ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî-ñòàíäàðòíî. (|ζ| < A) = 2Φ(A) = 0.99, A =
Φ−1 (0.495) = 2.58. |η| < 100α·2.58
                             √
                              3
                                    .
   Çàäà÷à 7.14. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , ..., ξn íåçàâèñè-
ìû; P (ξk = 1) = 1 − P (ξk = 0) = pk (n); k = 1, 2, ... Íàéòè lim P (ξ1 +
                                                                        n→∞
ξ2 + · · · + ξn = m), åñëè p1 (n) + · · · + pn (n) → λ è max pk (n) → 0 ïðè
                                                         1≤k≤n
n → ∞.
    Ðåøåíèå. fµξk (t) = eitξk = eit pk (n)¶
                                                                  it − 1)p (n),
                                             + 1 − pk (n) = 1 + (eµ       k
 P
                Q
                n
                          it                     P
                                                            Pn
f ξk (t) =          1 + (e − 1)pk (n) , ln f ξk (t) =           ln 1 + (eit −
          ¶ k=1   µ                       ¶                 k=1
                P
                n
                                                           P              it
1)pk (n) ≈         (e − 1)pk (n) + · · · → (e − 1)λ, f ξk (t) → eλ(e −1) ,
                      it                          it
             k=1
ò.å. ðàñïðåäåëåíèå ñóììû ξ1 +ξ2 +· · ·+ξn ñòðåìèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ
Ïóàññîíà.
               Çàäà÷è äîìàøíåãî çàäàíèÿ.
   Çàäà÷à 14.557. Ïðè óñëîâèÿõ çàäà÷è 14.556 íàéòè âåðîÿòíîñòü
ñîáûòèÿ D={ñîáûòèå A îñóùåñòâëÿåòñÿ 36 ðàç â 60 èñïûòàíèÿõ}.

                                                          Îòâåò: P (D) ≈ 0.1051.

    Çàäà÷è 14.569, 14.570. Ñêîëüêî ðàç íóæíî ïîäáðîñèòü ìîíå-
òó, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0.975, óòâåðæäàòü, ÷òî ÷àñòî-
òà âûïàäåíèÿ ãåðáà ïîïàäåò â èíòåðâàë (0.4, 0.6)? Ïîëó÷èòü îöåí-
êó óêàçàííîãî ÷èñëà: à) èñïîëüçóÿ âòîðîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà; á)
ïðèìåíÿÿ èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Ìóàâðà  Ëàïëàñà.

                         Îòâåò: à) Íå ìåíåå 1000 ðàç, á) íå ìåíåå 127 ðàç.

   Çàäà÷à 7.6(à, ã). Âû÷èñëèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèé: à) áèíîìèàëüíîãî; ã) ðàâíîìåðíîãî íà îòðåçêå [−1, 1].

                                                 Îòâåò: à) (peit + q)n ; ã) sin t/t.

   Çàäà÷à 7.7(á). Íàéòè çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ôóíêöèÿì: á) cos2 t.

                    Îòâåò: P (ξ = 2) = P (ξ = −2) = 1/4, P (ξ = 0) = 1/2.

                                            64

Страницы