Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p n
m x
m
=
m−np
√
npq
,
∀a, b
lim
n→∞
P (a < x
m
< b) =
1
√
2π
b
Z
a
e
−
u
2
2
du.
k
ξ
k
x
k
| 0 | 1
p
k
| q | p
,
q = 1 − p.
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
Mξ
k
= p,
Dξ
k
= pq, ξ
1
+ξ
2
+···+ξ
n
= m, A
n
= np, B
2
n
= npq, x
m
=
m−np
√
npq
lim
n→∞
P (x
m
< x) =
1
√
2π
x
R
−∞
e
−
u
2
2
du, lim
n→∞
P (a < x
m
< b) =
1
√
2π
b
R
a
e
−
u
2
2
du.
A
p = 0.6.
B
A C
A
P (B) = P (m ≥ 31) = P (
m−np
√
npq
≥
31−np
√
npq
) =
= P (
m−36
√
60·0.6·0.4
≥
31−36
12
√
10) = 0.5 + Φ(
5
√
10
12
) = 0.5 + Φ(1.2) = 0.9032,
P (C) = P (30 ≤ m ≤ 42) = P (−
6
√
10
12
≤ x
m
≤
6
√
10
12
) = 2Φ(1.2) =
0.8046.
   Òåîðåìó ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.
   3) Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà  Ëàïëàñà.
Ïóñòü p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, n  ÷èñëî
èñïûòàíèé, m  ÷èñëî óñïåõîâ â ýòèõ èñïûòàíèÿõ, xm = m−np
                                                        √
                                                         npq ,
òîãäà äëÿ ∀a, b
                                                         Zb
                                                  1                u2
                          lim P (a < xm   < b) = √            e−    2   du.
                          n→∞                     2π
                                                         a

Äîêàçàòåëüñòâî. k-ìó èñïûòàíèþ ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñëó÷àé-
íóþ âåëè÷èíó ξk ñ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
                                          xk | 0 | 1
                                                     ,
                                          pk | q | p
q = 1 − p. Ââèäó íåçàâèñèìîñòè èñïûòàíèé ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè ξ1 , ξ2 , ..., ξn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. M ξk = p,
Dξk = pq, ξ1 +ξ2 +· · ·+ξn = m, An = np, Bn2 = npq, çíà÷èò, xm = m−np
                                                                  √
                                                                   npq
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà ïîä çíàêîì âåðîÿòíî-
ñòè â öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, ïîýòîìó lim P (xm < x) =
                                                                        n→∞
      Rx       − u2
                   2                                                    Rb        u2
√1         e           du, îòêóäà lim P (a < xm < b) =        √1             e−    2   du.
 2π                              n→∞                           2π
      −∞                                                                a


2.7.1 7-îå ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
  Çàäà÷à 14.556. Ïðîâîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå èñïûòàíèÿ ïî ñõå-
ìå Áåðíóëëè. Âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â îäíîì èñïû-
òàíèè p = 0.6. Ñ÷èòàÿ ïðèìåíèìûìè ïðåäåëüíûå òåîðåìû Ìóàâðà 
Ëàïëàñà, âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: B = {ñîáûòèå
A ïðîèçîéäåò â áîëüøèíñòâå èç 60 èñïûòàíèé}, C ={÷èñëî óñïåøíûõ
îñóùåñòâëåíèé ñîáûòèÿ A â 60 èñïûòàíèÿõ áóäåò çàêëþ÷åíî ìåæäó
30 è 42}.
   Ðåøåíèå. P (B) = P (m ≥ 31) = P ( m−np   √
                                               npq ≥
                                                      31−np
                                                       √
                                                        npq ) =
                          √                √
        m−36
= P ( √60·0.6·0.4 ≥ 31−36
                      12   10) = 0.5 + Φ( 5 1210 ) = 0.5 + Φ(1.2) = 0.9032,
                                                   √                      √
    P (C) = P (30 ≤ m ≤ 42) = P (− 6 1210 ≤ xm ≤                         6 10
                                                                          12 )         = 2Φ(1.2) =
0.8046.

                                              62

Страницы