Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 136 стр.

   Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не
всякую зависимость, а только линейную.
   В частности, если Y  aX  b, то q  1 .
   Формула для коэффициента корреляции была введена
Фрэнсисом Гальтоном
   Фрэнсис Гальтон (1822-1911) — английский исследователь,
внес вклад во многих областях науки:
    метеорология (антициклон и первые общедоступные
погодные карты),
    статистику (регресс и корреляция)
        криминологию (отпечатки пальцев). Математически
обосновал практическую невозможность совпадения отпечатков
пальцев у людей
   Найдем возможные значения коэффициента корреляции.
    Теорема Коэффициент корреляции | q | 1.
                         Доказательство
   Докажем сначала, что | K xy |  x y .
   Действительно, если рассмотреть случайную величину
Z1   y X   xY    и     найти         ее  дисперсию, то
получим: D( Z1 )  2 x2 y2  2 x y K xy .
    Так как дисперсия всегда неотрицательна, то
    2 x2 y2  2 x y K xy  0,
    откуда         | K xy |  x y .
                       K xy
    Отсюда                     q  0, что и требовалось доказать.
                      x y
    Определение       Случайные     величины   называются
некоррелироваными, если их коэффициент корреляции равен
нулю
                           q0
   Таким образом из независимости случайных величин следует
их некоррелированность. Обратно не верно



    136