Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 228 стр.

    Замечание Т.е чем больше объем выборки, тем больше
вероятность того, что ошибка оценки будет очень мала.
   Убедимся, что среднее арифметическое значение x B
представляет собой несмещенную оценку математического
ожидания M x  .
   Будем рассматривать      xB   как случайную величину, а
x1 , x2 ,, xn , то есть значения исследуемой случайной
величины, составляющие выборку,          – как независимые,
одинаково распределенные случайные величины X 1 , X 2 ,, X n ,
имеющие математическое ожидание               a . Из свойств
математического ожидания следует, что:
                   
              M X B  M 1
                           X  X  X n 
                                                a
                                  n            
   Но, поскольку каждая из величин X 1 , X 2 ,, X n имеет такое
же распределение, что и генеральная совокупность, a  M  X  ,
           
то есть M X B  M  X  , что и требовалось доказать.
    Выборочное среднее является не только несмещенной, но
и состоятельной оценкой математического ожидания.
    Если предположить, что X 1 , X 2 ,, X n имеют ограниченные
дисперсии, то из теоремы Чебышева следует, что их среднее
арифметическое, то есть X B , при увеличении n стремится по
вероятности к математическому ожиданию каждой их величин,
то есть к M  X  .
    Следовательно, выборочное среднее есть состоятельная
оценка математического ожидания.
    В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия
является    смещенной   оценкой     дисперсии   генеральной
совокупности. Можно доказать, что
                                     n 1
                         M DB          Dr ,
                                       n
где Dr – истинное          значение      дисперсии   генеральной
совокупности.
   228