Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 41 стр.

от множества M к множеству 2M мощность претерпевает скачок
2|M | − |M |; таким образом, при |M | > 1 между мощностями |M | и
2|M | имеются промежуточные мощности |M | + 1, |M | + 2, . . . , 2 |M | − 1.
Естественно предположить, что аналогичная ситуация будет иметь ме-
сто и в том случае, когда M счетно. Поскольку в данном случае множес-
тво 2M континуально (теорема 9), то предположение можно сформули-
ровать следующим образом: существует множество, мощность которого
является промежуточной между мощностями счетного и континуаль-
ного множеств. Однако попытки построить множество промежуточной
мощности оказались безуспешными, и в 1878 году Кантор сформули-
ровал знаменитую континуум-гипотезу: между мощностями счетного
и континуального множеств нет промежуточных мощностей. Решение
этой проблемы не удавалось найти многие годы. В начале 20 века многие
математики пришли к убеждению, что проблема не может быть решена
традиционными средствами теории множеств. Эта точка зрения была
подтверждена развитием математики. Решение (и метод, и результат)
проблемы оказалось нестандартным и стало возможным лишь после то-
го, как была создана аксиоматическая теория множеств и формализова-
ны логические средства вывода. Континуум-гипотеза была рассмотрена
в аксиоматической теории множеств; там стало возможным точно поста-
вить, а затем и решить вопрос о ее неразрешимости. В 1939 году К. Гё-
дель показал, что если система аксиом ZF непротиворечива, то она оста-
ется непротиворечивой и после добавления к ней континуум-гипотезы и,
значит, континуум-гипотезу нельзя опровергнуть в ZF теории. В 1963
году П. Коэн показал, что если система аксиом ZF непротиворечива,
то она остается непротиворечива и после добавления к ней отрицания
континуум-гипотезы, значит континуум-гипотезу нельзя вывести из ак-
сиом системы ZF . Континуум-гипотезу или ее отрицание можно присо-
единять к аксиомам теории множеств є при этом получаются разные
теории множеств, и с точки зрения математики ни одна из них не лучше
другой. В опрос же о том, какая из этих теорий больше отвечает реаль-


                                     41