Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 39 стр.

леть трудности, возникающие в «наивной» теории множеств из-за отсут-
ствия определения этого понятия. Суть метода в следующем. Принципы
«наивной» теории множеств выражаются в виде системы аксиом. Акси-
омы не объясняют, что такое множество, а формулируют ключевые мо-
менты «наивной» теории множеств, достаточные для построения теории.
Теперь множество є это нечто, удовлетворяющее аксиомам. Система
аксиом выбирается таким образом, чтобы ограничить понятие множе-
ства, сделав невозможным образование «слишком больших множеств»,
являющихся основой известных парадоксов, но, в то же время, чтобы на
основе этой системы можно было построить теорию (аксиоматическую
теорию множеств), результаты которой содержали бы результаты «наив-
ной» теории множеств.
   В первые такая система аксиом была построена Э. Цермело в 1908 го-
ду, ее обозначают первой буквой фамилии создателя Z. В дальнейшем
она была развита, усовершенствована и видоизменена рядом ученых. В
системе Z оказалось невозможным формализовать некоторые разделы
математики, и в 1922 году А. Френкель предложил пополнить систему Z
еще одной аксиомой, названной им аксиомой подстановки. Пополненная
система называется системой Цермело ҷ Френкеля и обозначается ZF .
Теория ZF значительно сильнее теории Z, все обычные математические
теоремы формализуются в ZF . Д
                             ругую аксиоматику теории множеств
указал Д
       ж. Нейман. Он предложил ввести в теорию множеств новое
первичное понятие «класса» и рассматривать два вида совокупностей:
совокупности первого вида, называемые «множествами», могут не толь-
ко содержать элементы, но и сами быть элементами других совокупнос-
тей, совокупности второго вида, называемые «классами», не могут слу-
жить элементами других совокупностей. В системе Неймана парадокс
Кантора невозможен, поскольку совокупность всех «множеств» явля-
ется «классом», но не является «множеством». Система Неймана была
тщательно переработана П. Б ернайсом и К. Гёделем и получила наиме-
нование NBG. Есть и другие, менее популярные аксиоматические теории


                                 39