Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 37 стр.

   5. Парадоксы теории множеств и аксиоматическая теория
множеств. Кантор, располагая вместо определения понятия множества
лишь описанием этого фундаментального понятия создаваемой им тео-
рии множеств, полагал, что непосредственная очевидность понятия мно-
жества не оставит свободы в его понимании. Однако развитие теории
множеств довольно быстро опровергло его предположение. Уже в се-
редине 1890-х годов в теории множеств были обнаружены противоречия
(называемые парадоксами или антиномиями), основа которых была в
различном толковании понятия множества. Первым в 1897 году был от-
крыт парадокс Б урали ҷ Форти (Кантору он был известен еще в 1895 го-
ду), затем парадокс Кантора (1899 г.), парадокс Рассела (1902 г.) и еще
целая серия парадоксов. Рассмотрим лишь два из этих парадоксов, наи-
более простых для описания.
   П а р а д о к с К а н т о р а. Рассмотрим множество M всех возможных
множеств. Согласно теореме Кантора, мощность множества 2 M всех под-
множеств множества M больше мощности множества M . С другой сто-
роны, поскольку элементами множества 2M являются множества, то
2M ⊂ M, значит мощность множества 2M не превосходит мощности
множества M . Противоречие.
   Отметим, что множество M из парадокса Кантора, несмотря на про-
стоту описания, обладает свойством, которым типичные множества не
обладают: M, будучи множеством, является элементом множества M
всех множеств, т. е. M содержит себя в качестве элемента. Множества с
таким свойством служат основой для следующего парадокса.
   П а р а д о к с Р а с с е л а. Рассмотрим множество S, состоящее из всех
тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Обладает
ли само множество S указанным свойством своих элементов? Предполо-
жим, что S ∈ S, тогда, согласно определению множества S, множество
S не является элементом из S, т. е. S ∈
                                      / S. Противоречие. Предположим
теперь, что S ∈
              / S, тогда, согласно определению множества S, множество
S является своим элементом, т. е. S ∈ S. Противоречие. Таким образом,


                                    37