Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим два подмножества множества A:
A
1
= {a ∈ A : a ∈ g(a)}, A
2
= {a ∈ A : a /∈ g(a)}.
Множества A
1
, A
2
не пусты: множество A
1
содержит элемент a
∗
: g(a
∗
) =
= A, а множество A
2
содержит элемент a
∗
: g(a
∗
) = ∅. Ясно, что
A
1
∪ A
2
= A и A
1
∩ A
2
= ∅. Поскольку g є биекция, то существует
элемент a
0
∈ A такой, что g(a
0
) = A
2
. Если a
0
∈ A
1
, то a
0
∈ g(a
0
) = A
2
.
Противоречие. Если же a
0
∈ A
2
, то a /∈ g(a
0
) = A
2
. Противоречие.
¥
Из теоремы 8 следует, что для любой мощности можно построить
множество большей мощности, затем на его основе еще большей и т. д.,
получая таким образом неограниченную шкалу мощностей.
Рассмотрим задачу о зависимости мощности множества 2
M
от мощ-
ности множества M, когда M конечно или счетно. В случае конечного
множества задача сводится к упражнению из комбинаторики.
У п р а ж н е н и е 6. Покажите, что семейство 2
M
всех подмно-
жеств множества M, состоящего из n элементов, имеет 2
n
элементов,
т. е. |2
M
| = 2
|M|
.
Для случая счетного множества справедливо следующее утвержде-
ние.
Т е о р е м а 9. Если M є счетное множество, то множество 2
M
всех
его подмножеств континуально.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что множество 2
M
всех
подмножеств множества M = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . } равномощно множе-
ству Σ всех последовательностей из нулей и единиц. Зададим отобра-
жение f : 2
M
→ Σ по правилу: для каждого подмножества A ∈ ∈ 2
M
положим f(A) = (ε
1
, ε
2
, . . . , ε
n
, . . . ), где
ε
k
=
(
1, если a
k
∈ A,
0, если a
k
/∈ A.
Ясно, что отображение f биективно, следовательно, множества 2
M
и Σ равномощны.
35
Рассмотрим два подмножества множества A:
               A1 = {a ∈ A : a ∈ g(a)}, A2 = {a ∈ A : a ∈
                                                        / g(a)}.
Множества A1 , A2 не пусты: множество A1 содержит элемент a∗ : g(a∗ ) =
= A, а множество A2 содержит элемент a∗ : g(a∗ ) = ∅. Ясно, что
A1 ∪ A2 = A и A1 ∩ A2 = ∅. Поскольку g є биекция, то существует
элемент a� ∈ A такой, что g(a� ) = A2 . Если a� ∈ A1 , то a� ∈ g(a� ) = A2 .
Противоречие. Если же a� ∈ A2 , то a ∈
                                     / g(a� ) = A2 . Противоречие.
                                                                          �
    Из теоремы 8 следует, что для любой мощности можно построить
множество большей мощности, затем на его основе еще большей и т. д.,
получая таким образом неограниченную шкалу мощностей.
    Рассмотрим задачу о зависимости мощности множества 2 M от мощ-
ности множества M , когда M конечно или счетно. В случае конечного
множества задача сводится к упражнению из комбинаторики.
    У п р а ж н е н и е 6. Покажите, что семейство 2M всех подмно-
жеств множества M , состоящего из n элементов, имеет 2n элементов,
т. е. |2M | = 2|M | .
    Д
    ля случая счетного множества справедливо следующее утвержде-
ние.
    Т е о р е м а 9. Если M є счетное множество, то множество 2 M всех
его подмножеств континуально.
    До к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что множество 2 M всех
подмножеств множества M = {a1 , a2 , . . . , an , . . . } равномощно множе-
ству Σ всех последовательностей из нулей и единиц. Зададим отобра-
жение f : 2M → Σ по правилу: для каждого подмножества A ∈ ∈ 2M
положим f (A) = (ε1 , ε2 , . . . , εn , . . . ), где
                                    �
                                         1, если ak ∈ A,
                           εk =
                                         0, если ak ∈/ A.
    Ясно, что отображение f биективно, следовательно, множества 2 M
и Σ равномощны.


                                           35

Страницы