Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 33 стр.

A ∩ B = = ∅. Пусть x є какой-нибудь элемент из множества A. Опре-
делим для него последовательность {xn } элементов из множества A ∪ B
следующим образом. Положим x0 = x. Если xn уже определен, то при n
четном положим xn+1 = g −1 (xn ) (если элемент g −1 (xn ) ∈ B существует),
а при n нечетном положим xn+1 = f −1 (xn ) (если элемент f −1 (xn ) ∈ A
существует). Логически возможны два случая.
   1◦ . При некотором n элемент xn существует, а элемент xn+1 не су-
ществует, т. е. последовательность {xn } конечна. Это n назовем поряд-
ком элемента x.
   2◦ . Элемент xn+1 существует для всякого n ∈ N, т. е. последователь-
ность {xn } бесконечна. В этом случае назовемx элементом бесконечного
порядка.
   Разобьем множество A на три подмножества: Aчет є всех элементов
четного порядка, Aнеч є всех элементов нечетного порядка, A∞ є всех
элементов бесконечного порядка. Аналогичным образом разобьем мно-
жество B на три подмножества Bчет , Bнеч , B∞ . Тогда f (Aчет ) = Bнеч ,
f (A∞ ) = B∞ , g −1 (Aнеч ) = Bчет . Д
                                     ействительно, если {xn } є последова-
тельность, соответствующая элементу x ∈ A, то элементу y = f (x) ∈ B
соответствует последовательность {yn },
                            �
                              y, если n = 0,
                       yn =
                              xn−1 , если n ≥ 1,
поэтому
                           �
                             Bнеч , если x ∈ Aчет ,
                   f (x) ∈
                             B∞ , если x ∈ A∞ ,

значит f (Aчет ) ⊂ Bнеч , f (A∞ ) ⊂ B∞ . С другой стороны, если {yn } є
последовательность, соответствующая элементу y ∈ B, то y 1 = f −1 (y), и
элементу x = y1 ∈ A соответствует последовательность {xn }, xn = yn+1 ,
поэтому
                                �
                                    Aчет , если y ∈ Bнеч ,
                   f −1 (y) ∈
                                    A∞ , если y ∈ B∞ ,


                                        33